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cos(x)-sqrt(3)sin(x)=2

Solution

cos (x) - 3 sin (x) = 2

Solution

x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

cos (x) - 3 sin (x) = 2

Ajouter

3 sin (x)

aux deux côtés

cos (x) = 2 + 3 sin (x)

Mettre les deux côtés au carré

cos^{2} (x) = (2 + 3 sin (x))^{2}

Soustraire

(2 + 3 sin (x))^{2}

des deux côtés

cos^{2} (x) - 4 - 43 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 4 + cos^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3

Simplifier

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3 : - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x) - 3

- 4 + 1 - sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3

Additionner les éléments similaires :

- sin^{2} (x) - 3 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 4 + 1 - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x)

Additionner/Soustraire les nombres :

- 4 + 1 = - 3

= - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x) - 3

= - 4 sin^{2} (x) - 43 sin (x) - 3

- 3 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3 = 0

Résoudre par substitution

- 3 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) 3 = 0

Soit :

sin (x) = u

- 3 - 4 u^{2} - 4 u 3 = 0

- 3 - 4 u^{2} - 4 u 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

- 3 - 4 u^{2} - 4 u 3 = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 43 u - 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- 4 u^{2} - 43 u - 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 4, b = - 43, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 3 ) \pm ( - 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 3 ) \pm ( - 4 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 3 )}{2 ( - 4 )}

(- 43)^{2} - 4 (- 4) (- 3) = 0

(- 43)^{2} - 4 (- 4) (- 3)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 43)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

(- 43)^{2} = 4^{2} \cdot 3

(- 43)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 43)^{2} = (43)^{2}

= (43)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= 4^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

4 \cdot 4 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 48

= 4^{2} \cdot 3 - 48

4^{2} \cdot 3 = 48

4^{2} \cdot 3

4^{2} = 16

= 16 \cdot 3

Multiplier les nombres :

16 \cdot 3 = 48

= 48

= 48 - 48

Soustraire les nombres :

48 - 48 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 3 ) \pm 0}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 4 3 )}{2 ( - 4 )}

\frac{- ( - 4 3 )}{2 ( - 4 )} = - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 4 3 )}{2 ( - 4 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 3}{- 2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 3}{- 8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 3}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

La solution de l'équation de forme quadratique est :

u = - \frac{3}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x) = - \frac{3}{2} : x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{2}

Solutions générales pour

sin (x) = - \frac{3}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

cos (x) - 3 sin (x) = 2

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Faux

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Pour

cos (x) - 3 sin (x) = 2

insérer

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) = 2

Redéfinir

1 = 2

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

vrai

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Pour

cos (x) - 3 sin (x) = 2

insérer

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) - 3 sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 2

Redéfinir

2 = 2

\Rightarrow vrai

x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Exemples populaires

tan(x)=-3

tan (x) = - 3

sec(θ)=-2

sec (θ) = - 2

tan^2(θ)= 3/2 sec(θ)

tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} sec (θ)

cot^2(x)-3=0

cot^{2} (x) - 3 = 0

tan(θ)=-2

tan (θ) = - 2