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4cos^2(x)-4cos(x)-1=0

Solución

4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Solución

x = 1.77941 \dots + 2 πn, x = - 1.77941 \dots + 2 πn

Grados

x = 101.95285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 101.95285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Usando el método de sustitución

4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Sea:

cos (x) = u

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0 : u = \frac{1 + 2}{2}, u = \frac{1 - 2}{2}

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 42

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} + 16

4^{2} = 16

= 16 + 16

Sumar:

16 + 16 = 32

= 32

Descomposición en factores primos de

32 : 2^{5}

32

32

divida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

divida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{4}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 2}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 4 2}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 + 4 2}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 + 4 2}{8}

Factorizar

4 + 42 : 4 (1 + 2)

4 + 42

Reescribir como

= 4 \cdot 1 + 42

Factorizar el termino común

4

= 4 (1 + 2)

= \frac{4 ( 1 + 2 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 4 2}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 - 4 2}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 - 4 2}{8}

Factorizar

4 - 42 : 4 (1 - 2)

4 - 42

Reescribir como

= 4 \cdot 1 - 42

Factorizar el termino común

4

= 4 (1 - 2)

= \frac{4 ( 1 - 2 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1 - 2}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{1 + 2}{2}, u = \frac{1 - 2}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1 + 2}{2}, cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

cos (x) = \frac{1 + 2}{2}, cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

cos (x) = \frac{1 + 2}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{1 + 2}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = \frac{1 - 2}{2} : x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.77941 \dots + 2 πn, x = - 1.77941 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos(x)=(-sqrt(3))/2

cos (x) = \frac{- 3}{2}

sin(2x)=-sqrt(3)sin(x)

sin (2 x) = - 3 sin (x)

2cos((x+pi)/6)=1,0<x<2pi

2 cos (\frac{x + π}{6}) = 1, 0 < x < 2 π

tan^2(x)+sec(x)-1=0

tan^{2} (x) + sec (x) - 1 = 0

2cos(x)sin(x)=cos(x)

2 cos (x) sin (x) = cos (x)