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sin(x+pi/6)-sin(x-pi/6)= 1/2

Solución

sin (x + \frac{π}{6}) - sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Solución

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grados

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin (x + \frac{π}{6}) - sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin (x + \frac{π}{6}) - sin (x - \frac{π}{6})

Utilizar la identidad suma-producto:

sin (s) - sin (t) = 2 sin (\frac{s - t}{2}) cos (\frac{s + t}{2})

= 2 sin (\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2}) cos (\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2})

Simplificar

2 sin (\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2}) cos (\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2}) : cos (x)

2 sin (\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2}) cos (\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2})

\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2} = \frac{π}{6}

\frac{x + \frac{π}{6} - ( x - \frac{π}{6} )}{2}

Simplificar

x + \frac{π}{6} - (x - \frac{π}{6})

en una fracción:

\frac{π}{3}

x + \frac{π}{6} - (x - \frac{π}{6})

Convertir a fracción:

x = \frac{x 6}{6}, (x - \frac{π}{6}) = \frac{( x - \frac{π}{6} ) 6}{6}

= \frac{x \cdot 6}{6} + \frac{π}{6} - \frac{( x - \frac{π}{6} ) \cdot 6}{6}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 6 + π - ( x - \frac{π}{6} ) \cdot 6}{6}

Expandir

x \cdot 6 + π - (x - \frac{π}{6}) \cdot 6 : 2 π

x \cdot 6 + π - (x - \frac{π}{6}) \cdot 6

= 6 x + π - 6 (x - \frac{π}{6})

Expandir

- 6 (x - \frac{π}{6}) : - 6 x + π

- 6 (x - \frac{π}{6})

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 6, b = x, c = \frac{π}{6}

= - 6 x - (- 6) \frac{π}{6}

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 6 x + 6 \cdot \frac{π}{6}

6 \cdot \frac{π}{6} = π

6 \cdot \frac{π}{6}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 6}{6}

Eliminar los terminos comunes:

6

= π

= - 6 x + π

= x \cdot 6 + π - 6 x + π

Simplificar

x \cdot 6 + π - 6 x + π : 2 π

x \cdot 6 + π - 6 x + π

Agrupar términos semejantes

= 6 x - 6 x + π + π

Sumar elementos similares:

6 x - 6 x = 0

= π + π

Sumar elementos similares:

π + π = 2 π

= 2 π

= 2 π

= \frac{2 π}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{π}{3}

= \frac{\frac{π}{3}}{2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{3 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{π}{6}

= 2 sin (\frac{π}{6}) cos (\frac{x + x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}}{2})

\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2} = x

\frac{x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}}{2}

x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6} = 2 x

x + \frac{π}{6} + x - \frac{π}{6}

Agrupar términos semejantes

= x + x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Sumar elementos similares:

x + x = 2 x

= 2 x + \frac{π}{6} - \frac{π}{6}

Sumar elementos similares:

\frac{π}{6} - \frac{π}{6} = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= x

= 2 sin (\frac{π}{6}) cos (x)

Simplificar

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Utilizar la siguiente identidad trivial:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2} cos (x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} cos (x)

Eliminar los terminos comunes:

2

= cos (x) \cdot 1

Multiplicar:

cos (x) \cdot 1 = cos (x)

= cos (x)

= cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Ejemplos populares

tan(θ)= 5/12

tan (θ) = \frac{5}{12}

cos(3x)=(sqrt(3))/2

cos (3 x) = \frac{3}{2}

sin(x)=cos(x)-1

sin (x) = cos (x) - 1

2sin(x)cos(x)=cos(x)

2 sin (x) cos (x) = cos (x)

tan^2(θ)-1=0

tan^{2} (θ) - 1 = 0