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Populaire Trigonométrie >

15tan^3(x)=5tan(x)

Solution

15 tan^{3} (x) = 5 tan (x)

Solution

x = πn, x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

15 tan^{3} (x) = 5 tan (x)

Résoudre par substitution

15 tan^{3} (x) = 5 tan (x)

Soit :

tan (x) = u

15 u^{3} = 5 u

15 u^{3} = 5 u : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

15 u^{3} = 5 u

Déplacer

5 u

vers la gauche

15 u^{3} = 5 u

Soustraire

5 u

des deux côtés

15 u^{3} - 5 u = 5 u - 5 u

Simplifier

15 u^{3} - 5 u = 0

15 u^{3} - 5 u = 0

Factoriser

15 u^{3} - 5 u : 5 u (3 u + 1) (3 u - 1)

15 u^{3} - 5 u

Factoriser le terme commun

5 u : 5 u (3 u^{2} - 1)

15 u^{3} - 5 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 15 u^{2} u - 5 u

Récrire

15

comme

5 \cdot 3

= 5 \cdot 3 u^{2} u - 5 u

Factoriser le terme commun

5 u

= 5 u (3 u^{2} - 1)

= 5 u (3 u^{2} - 1)

Factoriser

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Récrire

3 u^{2} - 1

comme

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Appliquer la règle des radicaux:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Récrire

1

comme

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= 5 u (3 u + 1) (3 u - 1)

5 u (3 u + 1) (3 u - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u = 0 or 3 u + 1 = 0 or 3 u - 1 = 0

Résoudre

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

3 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

3 u = - 1

3 u = - 1

Diviser les deux côtés par

3

3 u = - 1

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplifier

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplifier

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Annuler le facteur commun :

3

= u

Simplifier

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Simplifier

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multiplier par le conjugué

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Résoudre

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

3 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

3 u = 1

3 u = 1

Diviser les deux côtés par

3

3 u = 1

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Simplifier

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Simplifier

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Annuler le facteur commun :

3

= u

Simplifier

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multiplier par le conjugué

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

Les solutions sont

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Remplacer

u = tan (x)

tan (x) = 0, tan (x) = - \frac{3}{3}, tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = 0, tan (x) = - \frac{3}{3}, tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Solutions générales pour

tan (x) = 0

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Résoudre

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

tan (x) = - \frac{3}{3} : x = \frac{5 π}{6} + πn

tan (x) = - \frac{3}{3}

Solutions générales pour

tan (x) = - \frac{3}{3}

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

tan (x) = \frac{3}{3} : x = \frac{π}{6} + πn

tan (x) = \frac{3}{3}

Solutions générales pour

tan (x) = \frac{3}{3}

Tableau de périodicité

tan (x)

avec un cycle

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

Combiner toutes les solutions

x = πn, x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Graphe

Exemples populaires

(cot(θ)+1)(sin(θ)-1)=0

(cot (θ) + 1) (sin (θ) - 1) = 0

sec(2x)=tan(2x)+1

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

sec^2(x)+3sec(x)+2=0

sec^{2} (x) + 3 sec (x) + 2 = 0

3sin(x)cos(x)-2cos(x)=0

3 sin (x) cos (x) - 2 cos (x) = 0

sin(x)=cos(x)+1

sin (x) = cos (x) + 1