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Populaire Trigonométrie >

tan(θ)+cot(θ)=4sin(2θ)

Solution

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

Solution

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Degrés

θ = 22. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 67. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 112. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 157. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

Soustraire

4 sin (2 θ)

des deux côtés

tan (θ) + cot (θ) - 4 sin (2 θ) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

cot (θ) + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

Simplifier

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ) : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

Convertir un élément en fraction:

4 sin (2 θ) = \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

Plus petit commun multiple de

sin (θ), cos (θ), 1 : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ), 1

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent dans au moins une des expressions factorisées

= sin (θ) cos (θ)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin (θ) cos (θ)

Pour

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Pour

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Pour

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin (θ) cos (θ)

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{1 \cdot sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ( θ ) sin ( 2 θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) + 1

Utiliser l'identité d'angle double:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 - 4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ) = 2 sin^{2} (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 θ ) \cdot 4 sin ( 2 θ )}{2}

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ) = 4 sin^{2} (2 θ)

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (2 θ) sin (2 θ) = sin^{1 + 1} (2 θ)

= 4 sin^{1 + 1} (2 θ)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 4 sin^{2} (2 θ)

= \frac{4 sin ^{2} ( 2 θ )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin^{2} (2 θ)

= 1 - 2 sin^{2} (2 θ)

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Résoudre par substitution

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Soit :

sin (2 θ) = u

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - 2 u^{2} = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplifier

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 2

- 2 u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Simplifier

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Remplacer

u = sin (2 θ)

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Résoudre

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn : θ = \frac{π}{8} + πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplifier

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{8} + πn

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{4}}{2} = \frac{π}{8}

\frac{\frac{π}{4}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= \frac{π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

Résoudre

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{3 π}{8} + πn

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplifier

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{8} + πn

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} = \frac{3 π}{8}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{4 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= \frac{3 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Résoudre

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{5 π}{8} + πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplifier

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{8} + πn

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} = \frac{5 π}{8}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{4 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= \frac{5 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

Résoudre

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{7 π}{8} + πn

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplifier

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{7 π}{8} + πn

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} = \frac{7 π}{8}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{4 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

4 \cdot 2 = 8

= \frac{7 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Combiner toutes les solutions

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Graphe

Exemples populaires

2cos^2(θ)-7cos(θ)+3=0

2 cos^{2} (θ) - 7 cos (θ) + 3 = 0

sin(x)=0,0<= x<= 2pi

sin (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

tan(x)sin(x)-4tan(x)=-3tan(x)

tan (x) sin (x) - 4 tan (x) = - 3 tan (x)

7tan(x)sin(x)-2sin(x)=0

7 tan (x) sin (x) - 2 sin (x) = 0

5sec(x)+5tan(x)=5

5 sec (x) + 5 tan (x) = 5