English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

tan(θ)+cot(θ)=4sin(2θ)

الحلّ

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

الحلّ

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

درجات

θ = 22. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 67. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 112. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 157. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

من الطرفين

4 sin (2 θ)

اطرح

tan (θ) + cot (θ) - 4 sin (2 θ) = 0

sin, cos :

عبّر بواسطة

cot (θ) + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

بسّط:

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

4 sin (2 θ) = \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

sin (θ), cos (θ), 1

المضاعف المشترك الأصغر لـ:

sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ), 1

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear in at least one of the factored expressions

= sin (θ) cos (θ)

اكتب مجددًا الكسور بحيث يكون المقام مشترك

sin (θ) cos (θ)

اضرب كل بسط ومقام بتعبير الذي يؤدّي إلى مقام مشترك

For

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

multiply the denominator and numerator by

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

For

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multiply the denominator and numerator by

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

For

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} :

multiply the denominator and numerator by

sin (θ) cos (θ)

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{1 \cdot sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ( θ ) sin ( 2 θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) = 0

Rewrite using trig identities

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

= - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) + 1

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

:فعّل متطابقة الزاوية المضاعفة

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 - 4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ) = 2 sin^{2} (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{sin ( 2 θ ) \cdot 4 sin ( 2 θ )}{2}

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ) = 4 sin^{2} (2 θ)

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

sin (2 θ) sin (2 θ) = sin^{1 + 1} (2 θ)

= 4 sin^{1 + 1} (2 θ)

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= 4 sin^{2} (2 θ)

= \frac{4 sin ^{2} ( 2 θ )}{2}

\frac{4}{2} = 2 :

اقسم الأعداد

= 2 sin^{2} (2 θ)

= 1 - 2 sin^{2} (2 θ)

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

sin (2 θ) = u :

على افتراض أنّ

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

انقل

1

إلى الجانب الأيمن

1 - 2 u^{2} = 0

من الطرفين

1

اطرح

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

بسّط

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

- 2

اقسم الطرفين على

- 2 u^{2} = - 1

- 2

اقسم الطرفين على

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

بسّط

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

x = f (a), - f (a)

الحلول هي

x^{2} = f (a)

لـ

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = sin (2 θ)

استبدل مجددًا

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2} :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

حلّ:

θ = \frac{π}{8} + πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

بسّط:

θ

\frac{2 θ}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= θ

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

\frac{π}{8} + πn

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{4}}{2} = \frac{π}{8}

\frac{\frac{π}{4}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{π}{4 \cdot 2}

4 \cdot 2 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

حلّ:

θ = \frac{3 π}{8} + πn

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

بسّط:

θ

\frac{2 θ}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= θ

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

\frac{3 π}{8} + πn

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} = \frac{3 π}{8}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{3 π}{4 \cdot 2}

4 \cdot 2 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{3 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} :

حلول عامّة لـ

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

حلّ:

θ = \frac{5 π}{8} + πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

بسّط:

θ

\frac{2 θ}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= θ

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

\frac{5 π}{8} + πn

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} = \frac{5 π}{8}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{5 π}{4 \cdot 2}

4 \cdot 2 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{5 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

حلّ:

θ = \frac{7 π}{8} + πn

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2

اقسم الطرفين على

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 θ}{2}

بسّط:

θ

\frac{2 θ}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= θ

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

بسّط:

\frac{7 π}{8} + πn

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} = \frac{7 π}{8}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{7 π}{4 \cdot 2}

4 \cdot 2 = 8 :

اضرب الأعداد

= \frac{7 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

اقسم الأعداد

= πn

= \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

وحّد الحلول

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

رسم

أمثلة شائعة

2cos^2(θ)-7cos(θ)+3=0

2 cos^{2} (θ) - 7 cos (θ) + 3 = 0

sin(x)=0,0<= x<= 2pi

sin (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

tan(x)sin(x)-4tan(x)=-3tan(x)

tan (x) sin (x) - 4 tan (x) = - 3 tan (x)

7tan(x)sin(x)-2sin(x)=0

7 tan (x) sin (x) - 2 sin (x) = 0

5sec(x)+5tan(x)=5

5 sec (x) + 5 tan (x) = 5