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sin^{sin(x)}(x)=2

Solução

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Passos da solução

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Usando o método de substituição

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Sea:

sin (x) = u

u^{u} = 2

u^{u} = 2 : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u^{u} = 2

Prepare

u^{u} = 2

para a forma Lambert:

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u^{u} = 2

x e^{x} = a

é equação na forma Lambert

Elevar ambos os lados da equação à potência

\frac{1}{u}

(u^{u})^{\frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}}

Simplificar

(u^{u})^{\frac{1}{u}} : u

(u^{u})^{\frac{1}{u}}

Aplicar a seguinte propriedade dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c},

assumindo que

a \geq 0

= u^{u \frac{1}{u}}

u \frac{1}{u} = 1

u \frac{1}{u}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= 1

= u

u = 2^{\frac{1}{u}}

Multiplicar ambos os lados por

2^{- \frac{1}{u}}

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Simplificar

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} : 1

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

= 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

Somar elementos similares:

1 \cdot \frac{1}{u} - 1 \cdot \frac{1}{u} = 0

= 2^{0}

Aplicar a regra

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Converter para a base

e : u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a = b^{l o g_{b} (a)}

2^{- \frac{1}{u}} = (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}}

u (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = 1

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = e^{l n (2) (- \frac{1}{u})}

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Simplificar

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

Reescrever a equação com

\frac{ln ( 2 )}{u} = v

u = \frac{ln ( 2 )}{v}

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

Reescreva

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

na forma Lambert:

v e^{v} = ln (2)

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

x e^{x} = a

é equação na forma Lambert

Multiplicar ambos os lados por

v

\frac{ln ( 2 )}{v} e^{- v} v = 1 \cdot v

Simplificar

ln (2) e^{- v} = v

Multiplicar ambos os lados por

e^{v}

ln (2) e^{- v} e^{v} = v e^{v}

Simplificar

ln (2) e^{- v} e^{v} : ln (2)

ln (2) e^{- v} e^{v}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{- v} e^{v} = e^{- v + v}

= ln (2) e^{- v + v}

Somar elementos similares:

- v + v = 0

= ln (2) e^{0}

Aplicar a regra

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1 \cdot ln (2)

Multiplicar:

ln (2) \cdot 1 = ln (2)

= ln (2)

ln (2) = v e^{v}

Trocar lados

v e^{v} = ln (2)

Resolver

v e^{v} = ln (2) : v = W_{0} (ln (2))

v e^{v} = ln (2)

Solução para

x e^{x} = a

onde

a \geq 0

é o ramo principal de Lambert

W

função:

x = W_{0} (a)

v = W_{0} (ln (2))

Verifique soluções:

v = W_{0} (ln (2))

Verdadeiro

Verificar as soluções inserindo-as em

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Inserir

v = W_{0} (ln (2)) :

Verdadeiro

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = 1

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = \frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))}

Remover os parênteses:

(a) = a

= \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} e^{- W_{0} (l n (2))}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{ln ( 2 ) e ^{- W_{0} (l n (2))}}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = 1

Verdadeiro

A solução é

v = W_{0} (ln (2))

Substitua

v = \frac{ln ( 2 )}{u},

solucione para

u

Resolver

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2)) : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multiplicar ambos os lados por

u

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multiplicar ambos os lados por

u

\frac{ln ( 2 )}{u} u = W_{0} (ln (2)) u

Simplificar

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

Trocar lados

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Dividir ambos os lados por

W_{0} (ln (2))

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Dividir ambos os lados por

W_{0} (ln (2))

\frac{W _{0} ( ln ( 2 ) ) u}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Simplificar

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{ln ( 2 )}{u}

e comparar com zero

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} :

Sem solução

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Gráfico

Exemplos populares

4cos(x)+2=0

4 cos (x) + 2 = 0

cot(x)=-(sqrt(3))/3

cot (x) = - \frac{3}{3}

cos(4x)=1

cos (4 x) = 1

2sin(2θ)+1=0

2 sin (2 θ) + 1 = 0

2sin(θ)-sin(2θ)=0

2 sin (θ) - sin (2 θ) = 0