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sin^{sin(x)}(x)=2

Solución

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Solución

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Pasos de solución

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Usando el método de sustitución

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Sea:

sin (x) = u

u^{u} = 2

u^{u} = 2 : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u^{u} = 2

Preparar

u^{u} = 2

para la forma de Lambert:

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u^{u} = 2

x e^{x} = a

es una ecuación en forma de Lambert

Elevar ambos lados de la ecuación a la potencia

\frac{1}{u}

(u^{u})^{\frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}}

Simplificar

(u^{u})^{\frac{1}{u}} : u

(u^{u})^{\frac{1}{u}}

Aplicar la siguiente propiedad de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c},

asumiendo que

a \geq 0

= u^{u \frac{1}{u}}

u \frac{1}{u} = 1

u \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 1

= u

u = 2^{\frac{1}{u}}

Multiplicar ambos lados por

2^{- \frac{1}{u}}

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Simplificar

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} : 1

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

= 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

Sumar elementos similares:

1 \cdot \frac{1}{u} - 1 \cdot \frac{1}{u} = 0

= 2^{0}

Aplicar la regla

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Convertir a base

e : u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = b^{l o g_{b} (a)}

2^{- \frac{1}{u}} = (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}}

u (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = e^{l n (2) (- \frac{1}{u})}

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Simplificar

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

Re-escribir la ecuación con

\frac{ln ( 2 )}{u} = v

u = \frac{ln ( 2 )}{v}

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

Reescribir

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

en forma de Lambert:

v e^{v} = ln (2)

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

x e^{x} = a

es una ecuación en forma de Lambert

Multiplicar ambos lados por

v

\frac{ln ( 2 )}{v} e^{- v} v = 1 \cdot v

Simplificar

ln (2) e^{- v} = v

Multiplicar ambos lados por

e^{v}

ln (2) e^{- v} e^{v} = v e^{v}

Simplificar

ln (2) e^{- v} e^{v} : ln (2)

ln (2) e^{- v} e^{v}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{- v} e^{v} = e^{- v + v}

= ln (2) e^{- v + v}

Sumar elementos similares:

- v + v = 0

= ln (2) e^{0}

Aplicar la regla

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1 \cdot ln (2)

Multiplicar:

ln (2) \cdot 1 = ln (2)

= ln (2)

ln (2) = v e^{v}

Intercambiar lados

v e^{v} = ln (2)

Resolver

v e^{v} = ln (2) : v = W_{0} (ln (2))

v e^{v} = ln (2)

La solución para

x e^{x} = a

donde

a \geq 0

Es una rama principal de la función

W

de Lambert:

x = W_{0} (a)

v = W_{0} (ln (2))

Verificar las soluciones:

v = W_{0} (ln (2))

Verdadero

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Sustituir

v = W_{0} (ln (2)) :

Verdadero

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = 1

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = \frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))}

Quitar los parentesis:

(a) = a

= \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} e^{- W_{0} (l n (2))}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{ln ( 2 ) e ^{- W_{0} (l n (2))}}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = 1

Verdadero

La solución es

v = W_{0} (ln (2))

Sustituir hacia atrás la

v = \frac{ln ( 2 )}{u},

resolver para

u

Resolver

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2)) : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multiplicar ambos lados por

u

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multiplicar ambos lados por

u

\frac{ln ( 2 )}{u} u = W_{0} (ln (2)) u

Simplificar

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

Intercambiar lados

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Dividir ambos lados entre

W_{0} (ln (2))

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Dividir ambos lados entre

W_{0} (ln (2))

\frac{W _{0} ( ln ( 2 ) ) u}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Simplificar

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

\frac{ln ( 2 )}{u}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} :

Sin solución

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para x \in R

Ejemplos populares

4cos(x)+2=0

4 cos (x) + 2 = 0

cot(x)=-(sqrt(3))/3

cot (x) = - \frac{3}{3}

cos(4x)=1

cos (4 x) = 1

2sin(2θ)+1=0

2 sin (2 θ) + 1 = 0

2sin(θ)-sin(2θ)=0

2 sin (θ) - sin (2 θ) = 0