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Beliebt Trigonometrie >

sin^{sin(x)}(x)=2

Lösung

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Löse mit Substitution

sin^{s i n (x)} (x) = 2

Angenommen:

sin (x) = u

u^{u} = 2

u^{u} = 2 : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u^{u} = 2

u^{u} = 2

für die Lambert-Form vorbereiten:

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u^{u} = 2

x e^{x} = a

ist Gleichung in Lambert-Form

Potenziere beide Seiten der Gleichung mit

\frac{1}{u}

(u^{u})^{\frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}}

Vereinfache

(u^{u})^{\frac{1}{u}} : u

(u^{u})^{\frac{1}{u}}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c},

angenommen

a \geq 0

= u^{u \frac{1}{u}}

u \frac{1}{u} = 1

u \frac{1}{u}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

= u

u = 2^{\frac{1}{u}}

Multipliziere beide Seiten mit

2^{- \frac{1}{u}}

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Vereinfache

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} : 1

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{\frac{1}{u}} \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

= 2^{\frac{1}{u} - \frac{1}{u}}

Addiere gleiche Elemente:

1 \cdot \frac{1}{u} - 1 \cdot \frac{1}{u} = 0

= 2^{0}

Wende Regel an

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Wende Exponentenregel an

u \cdot 2^{- \frac{1}{u}} = 1

Ändere

e

in die Basis

Eq u a t i o n 1 : u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Wende Exponentenregel an:

a = b^{l o g_{b} (a)}

2^{- \frac{1}{u}} = (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}}

u (e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = 1

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(e^{l n (2)})^{- \frac{1}{u}} = e^{l n (2) (- \frac{1}{u})}

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

u e^{l n (2) (- \frac{1}{u})} = 1

Vereinfache

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

u e^{- \frac{l n ( 2 )}{u}} = 1

Schreibe die Gleichung um mit

\frac{ln ( 2 )}{u} = v

und

u = \frac{ln ( 2 )}{v}

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

in Lambert-Form umschreiben:

v e^{v} = ln (2)

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

x e^{x} = a

ist Gleichung in Lambert-Form

Multipliziere beide Seiten mit

v

\frac{ln ( 2 )}{v} e^{- v} v = 1 \cdot v

Vereinfache

ln (2) e^{- v} = v

Multipliziere beide Seiten mit

e^{v}

ln (2) e^{- v} e^{v} = v e^{v}

Vereinfache

ln (2) e^{- v} e^{v} : ln (2)

ln (2) e^{- v} e^{v}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{- v} e^{v} = e^{- v + v}

= ln (2) e^{- v + v}

Addiere gleiche Elemente:

- v + v = 0

= ln (2) e^{0}

Wende Regel an

a^{0} = 1, a \neq = 0

= 1 \cdot ln (2)

Multipliziere:

ln (2) \cdot 1 = ln (2)

= ln (2)

ln (2) = v e^{v}

Tausche die Seiten

v e^{v} = ln (2)

Löse

v e^{v} = ln (2) : v = W_{0} (ln (2))

v e^{v} = ln (2)

Lösung für

x e^{x} = a

wobei

a < - \overset{1}{¸} e,

ist Hauptzweig von Lambert

W

Funktion:

x = W_{0} (a)

v = W_{0} (ln (2))

Überprüfe die Lösungen:

v = W_{0} (ln (2))

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

(\frac{ln ( 2 )}{v}) e^{- v} = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

v = W_{0} (ln (2)) :

Wahr

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = 1

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))} = \frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

(\frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}) e^{- W_{0} (l n (2))}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} e^{- W_{0} (l n (2))}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{ln ( 2 ) e ^{- W_{0} (l n (2))}}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{e ^{- W_{0} (l n (2))} ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = 1

Wahr

Deshalb ist die Lösung

v = W_{0} (ln (2))

Setze

v = \frac{ln ( 2 )}{u} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2)) : u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multipliziere beide Seiten mit

u

\frac{ln ( 2 )}{u} = W_{0} (ln (2))

Multipliziere beide Seiten mit

u

\frac{ln ( 2 )}{u} u = W_{0} (ln (2)) u

Vereinfache

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

ln (2) = W_{0} (ln (2)) u

Tausche die Seiten

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Teile beide Seiten durch

W_{0} (ln (2))

W_{0} (ln (2)) u = ln (2)

Teile beide Seiten durch

W_{0} (ln (2))

\frac{W _{0} ( ln ( 2 ) ) u}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Vereinfache

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

\frac{ln ( 2 )}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

u = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{ln ( 2 )}{W _{0} ( ln ( 2 ) )}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(x)+2=0

4 cos (x) + 2 = 0

cot(x)=-(sqrt(3))/3

cot (x) = - \frac{3}{3}

cos(4x)=1

cos (4 x) = 1

2sin(2θ)+1=0

2 sin (2 θ) + 1 = 0

2sin(θ)-sin(2θ)=0

2 sin (θ) - sin (2 θ) = 0