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Beliebt Trigonometrie >

3tan^3(θ)-3tan^2(θ)-tan(θ)+1=0

Lösung

3 tan^{3} (θ) - 3 tan^{2} (θ) - tan (θ) + 1 = 0

Lösung

θ = \frac{π}{4} + πn, θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Grad

θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 tan^{3} (θ) - 3 tan^{2} (θ) - tan (θ) + 1 = 0

Löse mit Substitution

3 tan^{3} (θ) - 3 tan^{2} (θ) - tan (θ) + 1 = 0

Angenommen:

tan (θ) = u

3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1 = 0

3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1 = 0 : u = 1, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1 = 0

Faktorisiere

3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1 : (u - 1) (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{3} - 3 u^{2} - u + 1

= (3 u^{3} - 3 u^{2}) + (- u + 1)

Klammere

- 1

aus

- u + 1

aus

: - (u - 1)

- u + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u - 1)

Klammere

3 u^{2}

aus

3 u^{3} - 3 u^{2}

aus

: 3 u^{2} (u - 1)

3 u^{3} - 3 u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 3 u u^{2} - 3 u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

3 u^{2}

= 3 u^{2} (u - 1)

= - (u - 1) + 3 u^{2} (u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

u - 1

= (u - 1) (3 u^{2} - 1)

Faktorisiere

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Schreibe

3 u^{2} - 1

um:

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= (u - 1) (3 u + 1) (3 u - 1)

(u - 1) (3 u + 1) (3 u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u - 1 = 0 or 3 u + 1 = 0 or 3 u - 1 = 0

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

3 u = - 1

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = - 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Rationalisiere

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Löse

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 u = 1

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

Die Lösungen sind

u = 1, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Setze in

u = tan (θ)

ein

tan (θ) = 1, tan (θ) = - \frac{3}{3}, tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = 1, tan (θ) = - \frac{3}{3}, tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = 1 : θ = \frac{π}{4} + πn

tan (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

tan (θ) = - \frac{3}{3} : θ = \frac{5 π}{6} + πn

tan (θ) = - \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = - \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{5 π}{6} + πn

θ = \frac{5 π}{6} + πn

tan (θ) = \frac{3}{3} : θ = \frac{π}{6} + πn

tan (θ) = \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{6} + πn

θ = \frac{π}{6} + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{4} + πn, θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(x)-3sec(x)+2=0

sec^{2} (x) - 3 sec (x) + 2 = 0

csc(θ)-1=0

csc (θ) - 1 = 0

2cos^2(x)+sqrt(2)cos(x)=0

2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) = 0

2sec^2(x)-3sec(x)-2=0

2 sec^{2} (x) - 3 sec (x) - 2 = 0

tan(θ)+1/(sqrt(3))=0

tan (θ) + \frac{1}{3} = 0