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Popolare Trigonometria >

csc(x)+cot(x)=3

Soluzione

csc (x) + cot (x) = 3

Soluzione

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Gradi

x = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

csc (x) + cot (x) = 3

Sottrarre

3

da entrambi i lati

csc (x) + cot (x) - 3 = 0

Esprimere con sen e cos

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 = 0

Semplifica

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 : \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3

Combinare le frazioni

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )} - 3

Converti l'elemento in frazione:

3 = \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + cos (x) - 3 sin (x) = 0

Aggiungi

3 sin (x)

ad entrambi i lati

1 + cos (x) = 3 sin (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(1 + cos (x))^{2} = (3 sin (x))^{2}

Sottrarre

(3 sin (x))^{2}

da entrambi i lati

(1 + cos (x))^{2} - 9 sin^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(1 + cos (x))^{2} - 9 sin^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + cos (x))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (x))

Semplificare

(1 + cos (x))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (x)) : 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

(1 + cos (x))^{2} - 9 (1 - cos^{2} (x))

(1 + cos (x))^{2} : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Semplifica

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x) : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 (1 - cos^{2} (x))

Espandi

- 9 (1 - cos^{2} (x)) : - 9 + 9 cos^{2} (x)

- 9 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) cos^{2} (x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 + 9 cos^{2} (x)

Semplifica

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 + 9 cos^{2} (x) : 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 9 + 9 cos^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= 2 cos (x) + cos^{2} (x) + 9 cos^{2} (x) + 1 - 9

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (x) + 9 cos^{2} (x) = 10 cos^{2} (x)

= 2 cos (x) + 10 cos^{2} (x) + 1 - 9

Aggiungi/Sottrai i numeri:

1 - 9 = - 8

= 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

= 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

= 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 8

- 8 + 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 8 + 10 cos^{2} (x) + 2 cos (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{4}{5}, u = - 1

- 8 + 10 u^{2} + 2 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 2 u - 8 = 0

Risolvi con la formula quadratica

10 u^{2} + 2 u - 8 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 10, b = 2, c = - 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 8 )}{2 \cdot 10}

2^{2} - 4 \cdot 10 (- 8) = 18

2^{2} - 4 \cdot 10 (- 8)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Aggiungi i numeri:

4 + 320 = 324

= 324

Fattorizzare il numero:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 18}{2 \cdot 10}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10} : \frac{4}{5}

\frac{- 2 + 18}{2 \cdot 10}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 2 + 18 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 10}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{16}{20}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{4}{5}

u = \frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10} : - 1

\frac{- 2 - 18}{2 \cdot 10}

Sottrai i numeri:

- 2 - 18 = - 20

= \frac{- 20}{2 \cdot 10}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 20}{20}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20}{20}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{4}{5}, u = - 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = \frac{4}{5}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{4}{5}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{4}{5} : x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{4}{5}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = \frac{4}{5}

Soluzioni generali per

cos (x) = \frac{4}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluzioni generali per

cos (x) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

csc (x) + cot (x) = 3

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Vero

arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Per

csc (x) + cot (x) = 3

inserisci la

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

csc (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + cot (arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3

Affinare

3 = 3

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falso

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Per

csc (x) + cot (x) = 3

inserisci la

x = 2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1

csc (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) + cot (2 π - arccos (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 3

Affinare

- 3 = 3

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

π + 2 πn :

Falso

π + 2 πn

Inserire in

n = 1

π + 2 π 1

Per

csc (x) + cot (x) = 3

inserisci la

x = π + 2 π 1

csc (π + 2 π 1) + cot (π + 2 π 1) = 3

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

x = arccos (\frac{4}{5}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 0.64350 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin^2(x)-sin(x)+1=cos^2(x)

sin^{2} (x) - sin (x) + 1 = cos^{2} (x)

sin(x/2)=(sqrt(3))/2

sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{2}

cos(x)tan(x)-cos(x)=0

cos (x) tan (x) - cos (x) = 0

4cos(x+70)=3

4 cos (x + 7 0^{\circ}) = 3

4cos(2x)=0

4 cos (2 x) = 0