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sec(x)=tan(x)-1

Solución

sec (x) = tan (x) - 1

x = 2 πn + π

Pasos de solución

sec (x) = tan (x) - 1

Restar

tan (x) - 1

de ambos lados

sec (x) - tan (x) + 1 = 0

Expresar con seno, coseno

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Simplificar

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} + 1 : \frac{1 - sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin (x) + cos (x) = 0

Sumar

sin (x)

a ambos lados

cos (x) + 1 = sin (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

(cos (x) + 1)^{2} = sin^{2} (x)

Restar

sin^{2} (x)

de ambos lados

(cos (x) + 1)^{2} - sin^{2} (x) = 0

Factorizar

(cos (x) + 1)^{2} - sin^{2} (x) : (cos (x) + 1 + sin (x)) (cos (x) + 1 - sin (x))

(cos (x) + 1 + sin (x)) (cos (x) + 1 - sin (x)) = 0

Resolver cada parte por separado

cos (x) + 1 + sin (x) = 0 or cos (x) + 1 - sin (x) = 0

cos (x) + 1 + sin (x) = 0 : x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

cos (x) + 1 - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

x = 2 πn + π, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Siendo que la ecuación esta indefinida para:

\frac{π}{2} + 2 πn

x = 2 πn + π, x = π + 2 πn

Mezclar intervalos sobrepuestos

x = 2 πn + π

tan (θ) = \frac{5}{4}

2 cos (x) sin (x) - 3 sin (x) = 0

tan^{2} (θ) - 3 tan (θ) = 0

x, tan (x) = 0

cos (θ) = - sin (- θ)