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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)+cos(2x)=4sin^2(x)-1

Lösung

sin (x) + cos (2 x) = 4 sin^{2} (x) - 1

Lösung

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = 0.72972 \dots + 2 πn, x = π - 0.72972 \dots + 2 πn

Grad

x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 41.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 138.18968 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (x) + cos (2 x) = 4 sin^{2} (x) - 1

Subtrahiere

4 sin^{2} (x) - 1

von beiden Seiten

sin (x) + cos (2 x) - 4 sin^{2} (x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos (2 x) + sin (x) - 4 sin^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 + 1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 4 sin^{2} (x)

Vereinfache

1 + 1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 4 sin^{2} (x) : sin (x) - 6 sin^{2} (x) + 2

1 + 1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 4 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin^{2} (x) + sin (x) - 4 sin^{2} (x) + 1 + 1

Addiere gleiche Elemente:

- 2 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 6 sin^{2} (x)

= - 6 sin^{2} (x) + sin (x) + 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin (x) - 6 sin^{2} (x) + 2

= sin (x) - 6 sin^{2} (x) + 2

2 + sin (x) - 6 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

2 + sin (x) - 6 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

2 + u - 6 u^{2} = 0

2 + u - 6 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = \frac{2}{3}

2 + u - 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 u^{2} + u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} + u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 2}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 2}{2 ( - 6 )}

1^{2} - 4 (- 6) \cdot 2 = 7

1^{2} - 4 (- 6) \cdot 2

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 6) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 6 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 2 = 48

= 1 + 48

Addiere die Zahlen:

1 + 48 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 7}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 7}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 7}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- 1 + 7}{2 ( - 6 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 7}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 7}{- 2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 7 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 7}{2 ( - 6 )} : \frac{2}{3}

\frac{- 1 - 7}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 7}{- 2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 7 = - 8

= \frac{- 8}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 8}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{8}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = \frac{2}{3}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{2}{3}

sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{2}{3}

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{3} : x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2}{3}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = 0.72972 \dots + 2 πn, x = π - 0.72972 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

r=a(1+cos(x))

r = a (1 + cos (x))

4sin^2(x)+2=3

4 sin^{2} (x) + 2 = 3

2cos^2(x)+7sin(x)+2=0

2 cos^{2} (x) + 7 sin (x) + 2 = 0

cos^2(x)=0.5

cos^{2} (x) = 0.5

sin(x)-cos(x)=-1

sin (x) - cos (x) = - 1