English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

sqrt(cos^2(2x)+1)+sin(2x)=2

Lösung

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Lösung

x = \frac{π}{4} + πn

Grad

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + sin (2 x) + 1 + cos^{2} (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 + sin (2 x) + 1 + 1 - sin^{2} (2 x)

Vereinfache

= - 2 + sin (2 x) + - sin^{2} (2 x) + 2

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Angenommen:

sin (2 x) = u

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0 : u = 1

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Quadratwurzeln entfernen

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Subtrahiere

u

von beiden Seiten

- 2 + u + 2 - u^{2} - u = 0 - u

Vereinfache

2 - u^{2} - 2 = - u

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

2 - u^{2} - 2 + 2 = - u + 2

Vereinfache

2 - u^{2} = - u + 2

Quadriere beide Seiten:

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

(2 - u^{2})^{2} = (- u + 2)^{2}

Schreibe

(2 - u^{2})^{2}

um:

2 - u^{2}

(2 - u^{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((2 - u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (2 - u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2 - u^{2}

Schreibe

(- u + 2)^{2}

um:

u^{2} - 4 u + 4

(- u + 2)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - u, b = 2

= (- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Vereinfache

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2} : u^{2} - 4 u + 4

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= (- u)^{2} - 2 u \cdot 2 + 2^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2} - 2 \cdot 2 u + 2^{2}

Fasse zusammen

= u^{2} - 4 u + 4

= u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Löse

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4 : u = 1

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Tausche die Seiten

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Verschiebe

u^{2}

auf die linke Seite

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Füge

u^{2}

zu beiden Seiten hinzu

u^{2} - 4 u + 4 + u^{2} = 2 - u^{2} + u^{2}

Vereinfache

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Verschiebe

2

auf die linke Seite

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 u^{2} - 4 u + 4 - 2 = 2 - 2

Vereinfache

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 4, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2} = 1

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = 1

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = 1

u = 1

Überprüfe die Lösungen:

u = 1

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u = 1 :

Wahr

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= - 2 + 1 + 2 - 1

2 - 1 = 1

2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

= - 2 + 1 + 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 1 + 1 = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Deshalb ist die Lösung

u = 1

Setze in

u = sin (2 x)

ein

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (2 x) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{4} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

8sin^2(x)2cos(x)=7,0<= x<= 2pi

8 sin^{2} (x) 2 cos (x) = 7, 0 \leq x \leq 2 π

2sin^2(x)-sin(x)+3=4

2 sin^{2} (x) - sin (x) + 3 = 4

9cos(2x)=9cos^2(x)-4

9 cos (2 x) = 9 cos^{2} (x) - 4

2-cos(x)=0

2 - cos (x) = 0

sin(1/x)=1

sin (\frac{1}{x}) = 1