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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-7cos(x)+7=0

Lösung

sin^{2} (x) - 7 cos (x) + 7 = 0

Lösung

x = 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - 7 cos (x) + 7 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

7 + sin^{2} (x) - 7 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 7 + 1 - cos^{2} (x) - 7 cos (x)

Vereinfache

= - cos^{2} (x) - 7 cos (x) + 8

8 - cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

8 - cos^{2} (x) - 7 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

8 - u^{2} - 7 u = 0

8 - u^{2} - 7 u = 0 : u = - 8, u = 1

8 - u^{2} - 7 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 7 u + 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 7 u + 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 7, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 8}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm ( - 7 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 8}{2 ( - 1 )}

(- 7)^{2} - 4 (- 1) \cdot 8 = 9

(- 7)^{2} - 4 (- 1) \cdot 8

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 7)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 8

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 7)^{2} = 7^{2}

= 7^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 8 = 32

= 7^{2} + 32

7^{2} = 49

= 49 + 32

Addiere die Zahlen:

49 + 32 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 7 ) \pm 9}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 1 )} : - 8

\frac{- ( - 7 ) + 9}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 + 9}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

7 + 9 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{16}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{2} = 8

= - 8

u = \frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- ( - 7 ) - 9}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{7 - 9}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

7 - 9 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 8, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 8, cos (x) = 1

cos (x) = - 8, cos (x) = 1

cos (x) = - 8 :

Keine Lösung

cos (x) = - 8

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)-sqrt(3)=-sin(x)

sin (x) - 3 = - sin (x)

6sin(θ)-6=0

6 sin (θ) - 6 = 0

tan(5x)=sqrt(3)

tan (5 x) = 3

cos(2θ)=3cos(θ)-2

cos (2 θ) = 3 cos (θ) - 2

sin(x)=-5/13

sin (x) = - \frac{5}{13}