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Beliebt Trigonometrie >

-9cos^2(θ)+9=16sin(θ)-7

Lösung

- 9 cos^{2} (θ) + 9 = 16 sin (θ) - 7

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 0.89112 \dots + 2 πn, θ = π - 0.89112 \dots + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 51.05755 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 128.94244 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 9 cos^{2} (θ) + 9 = 16 sin (θ) - 7

Subtrahiere

16 sin (θ) - 7

von beiden Seiten

- 9 cos^{2} (θ) - 16 sin (θ) + 16 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

16 - 16 sin (θ) - 9 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 16 - 16 sin (θ) - 9 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

16 - 16 sin (θ) - 9 (1 - sin^{2} (θ)) : 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) + 7

16 - 16 sin (θ) - 9 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 9 (1 - sin^{2} (θ)) : - 9 + 9 sin^{2} (θ)

- 9 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (θ)

= 16 - 16 sin (θ) - 9 + 9 sin^{2} (θ)

Vereinfache

16 - 16 sin (θ) - 9 + 9 sin^{2} (θ) : 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) + 7

16 - 16 sin (θ) - 9 + 9 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) + 16 - 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

16 - 9 = 7

= 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) + 7

= 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) + 7

= 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) + 7

7 - 16 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

7 - 16 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

7 - 16 u + 9 u^{2} = 0

7 - 16 u + 9 u^{2} = 0 : u = 1, u = \frac{7}{9}

7 - 16 u + 9 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

9 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

9 u^{2} - 16 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 9, b = - 16, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7}{2 \cdot 9}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7}{2 \cdot 9}

(- 16)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 2

(- 16)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 \cdot 7 = 252

= 1 6^{2} - 252

1 6^{2} = 256

= 256 - 252

Subtrahiere die Zahlen:

256 - 252 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 2}{2 \cdot 9}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 2}{2 \cdot 9}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 2}{2 \cdot 9}

u = \frac{- ( - 16 ) + 2}{2 \cdot 9} : 1

\frac{- ( - 16 ) + 2}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{16 + 2}{2 \cdot 9}

Addiere die Zahlen:

16 + 2 = 18

= \frac{18}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{18}{18}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 16 ) - 2}{2 \cdot 9} : \frac{7}{9}

\frac{- ( - 16 ) - 2}{2 \cdot 9}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{16 - 2}{2 \cdot 9}

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 2 = 14

= \frac{14}{2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{14}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7}{9}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{7}{9}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{7}{9}

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{7}{9}

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = \frac{7}{9} : θ = arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{7}{9}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{7}{9}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{7}{9}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = 0.89112 \dots + 2 πn, θ = π - 0.89112 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(3)+2cos(x)=0

3 + 2 cos (x) = 0

sin(θ)=-0.5

sin (θ) = - 0.5

2sin^2(3x)+sin(3x)-1=0

2 sin^{2} (3 x) + sin (3 x) - 1 = 0

2cos(3x)=-sqrt(2)

2 cos (3 x) = - 2

2-2cos(x)=0

2 - 2 cos (x) = 0