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Beliebt Trigonometrie >

-3cos^2(θ)-6cos(θ)+3=-cos(θ)+5

Lösung

- 3 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 3 = - cos (θ) + 5

Lösung

θ = π + 2 πn, θ = 2.30052 \dots + 2 πn, θ = - 2.30052 \dots + 2 πn

Grad

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 3 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 3 = - cos (θ) + 5

Löse mit Substitution

- 3 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 3 = - cos (θ) + 5

Angenommen:

cos (θ) = u

- 3 u^{2} - 6 u + 3 = - u + 5

- 3 u^{2} - 6 u + 3 = - u + 5 : u = - 1, u = - \frac{2}{3}

- 3 u^{2} - 6 u + 3 = - u + 5

Verschiebe

5

auf die linke Seite

- 3 u^{2} - 6 u + 3 = - u + 5

Subtrahiere

5

von beiden Seiten

- 3 u^{2} - 6 u + 3 - 5 = - u + 5 - 5

Vereinfache

- 3 u^{2} - 6 u - 2 = - u

- 3 u^{2} - 6 u - 2 = - u

Verschiebe

u

auf die linke Seite

- 3 u^{2} - 6 u - 2 = - u

Füge

u

zu beiden Seiten hinzu

- 3 u^{2} - 6 u - 2 + u = - u + u

Vereinfache

- 3 u^{2} - 5 u - 2 = 0

- 3 u^{2} - 5 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} - 5 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = - 5, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 2 )}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) ( - 2 )}{2 ( - 3 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 3) (- 2) = 1

(- 5)^{2} - 4 (- 3) (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 5)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 5^{2} - 24

5^{2} = 25

= 25 - 24

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 24 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 1}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 1}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 1}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 5 ) + 1}{2 ( - 3 )} : - 1

\frac{- ( - 5 ) + 1}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 1}{- 2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

5 + 1 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 5 ) - 1}{2 ( - 3 )} : - \frac{2}{3}

\frac{- ( - 5 ) - 1}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 1}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 1 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = - \frac{2}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - 1, cos (θ) = - \frac{2}{3}

cos (θ) = - 1, cos (θ) = - \frac{2}{3}

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{3} : θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{2}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = π + 2 πn, θ = 2.30052 \dots + 2 πn, θ = - 2.30052 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)-1=cos(2x)

cos (x) - 1 = cos (2 x)

sin(x+pi/4)=(sqrt(2))/2

sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

tan(θ)=2.4

tan (θ) = 2.4

sin(x)(2sin(x)-1)=0

sin (x) (2 sin (x) - 1) = 0

cos(x)= 1/8

cos (x) = \frac{1}{8}