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cos^2(x)+2cos(x)=sin^2(x/2)-2

Solución

cos^{2} (x) + 2 cos (x) = sin^{2} (\frac{x}{2}) - 2

Solución

x = π + 2 πn

Grados

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos^{2} (x) + 2 cos (x) = sin^{2} (\frac{x}{2}) - 2

Restar

sin^{2} (\frac{x}{2}) - 2

de ambos lados

cos^{2} (x) + 2 cos (x) - sin^{2} (\frac{x}{2}) + 2 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (\frac{x}{2}) + 2 cos (x)

Usar la siguiente identidad:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Intercambiar lados

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Sumar

1

a ambos lados

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Dividir ambos lados entre

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

= 2 + cos^{2} (x) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} + 2 cos (x)

Simplificar

2 + cos^{2} (x) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} + 2 cos (x) : \frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2} + 2

2 + cos^{2} (x) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} + 2 cos (x)

Multiplicar

2 \cdot \frac{x}{2} : x

2 \cdot \frac{x}{2}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{x \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= x

= 2 + cos^{2} (x) - \frac{- cos ( x ) + 1}{2} + 2 cos (x)

Combinar las fracciones usando el mínimo común denominador:

\frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2}

- \frac{- cos ( x ) + 1}{2} + cos^{2} (x) + 2 cos (x)

Convertir a fracción:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x ) 2}{2}, 2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) 2}{2}

= - \frac{1 - cos ( x )}{2} + \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 2}{2} + \frac{2 cos ( x ) \cdot 2}{2}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( 1 - cos ( x ) ) + cos ^{2} ( x ) \cdot 2 + 2 cos ( x ) \cdot 2}{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- ( - cos ( x ) + 1 ) + 2 cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x )}{2}

Expandir

- (1 - cos (x)) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x) : 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

- (1 - cos (x)) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x)

= - (1 - cos (x)) + 2 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

- (1 - cos (x)) : - 1 + cos (x)

- (1 - cos (x))

Poner los parentesis

= - (1) - (- cos (x))

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos (x)

= - 1 + cos (x) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x)

Simplificar

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x) : 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x)

Agrupar términos semejantes

= cos (x) + 2 cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 1

Sumar elementos similares:

cos (x) + 4 cos (x) = 5 cos (x)

= 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

= 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) + 5 cos ( x ) - 1}{2} + 2

= \frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2} + 2

2 + \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x ) + 5 cos ( x )}{2} = 0

Usando el método de sustitución

2 + \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x ) + 5 cos ( x )}{2} = 0

Sea:

cos (x) = u

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{3}{2}

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

2

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

Multiplicar ambos lados por

2

2 \cdot 2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} \cdot 2 = 0 \cdot 2

Simplificar

4 - 1 + 2 u^{2} + 5 u = 0

4 - 1 + 2 u^{2} + 5 u = 0

2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} - 24

5^{2} = 25

= 25 - 24

Restar:

25 - 24 = 1

= 1

Aplicar la regla

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2}

Sumar/restar lo siguiente:

- 5 + 1 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2}

Restar:

- 5 - 1 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 6}{4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{3}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 1, u = - \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluciones generales para

cos (x) = - 1

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = π + 2 πn

Ejemplos populares

2cos^2(x)-4cos(x)+2=0

2 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 2 = 0

cos^2(x)-sin^2(x)=1-2sin(x)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 1 - 2 sin (x)

cos(x)=-0.34

cos (x) = - 0.34

2sin^2(x)=3sin(x)-1

2 sin^{2} (x) = 3 sin (x) - 1

2cos(x)sin(x)-sin(x)=0

2 cos (x) sin (x) - sin (x) = 0