English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cos^2(x)+2cos(x)=sin^2(x/2)-2

Решение

cos^{2} (x) + 2 cos (x) = sin^{2} (\frac{x}{2}) - 2

Решение

x = π + 2 πn

Градусы

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

cos^{2} (x) + 2 cos (x) = sin^{2} (\frac{x}{2}) - 2

Вычтите

sin^{2} (\frac{x}{2}) - 2

с обеих сторон

cos^{2} (x) + 2 cos (x) - sin^{2} (\frac{x}{2}) + 2 = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

2 + cos^{2} (x) - sin^{2} (\frac{x}{2}) + 2 cos (x)

Используйте следующую тождественность:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Используйте тождество двойного угла

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Поменяйте стороны

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Разделите обе стороны на

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

= 2 + cos^{2} (x) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} + 2 cos (x)

Упростите

2 + cos^{2} (x) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} + 2 cos (x) : \frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2} + 2

2 + cos^{2} (x) - \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} + 2 cos (x)

Умножьте

2 \cdot \frac{x}{2} : x

2 \cdot \frac{x}{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{x \cdot 2}{2}

Отмените общий множитель:

2

= x

= 2 + cos^{2} (x) - \frac{- cos ( x ) + 1}{2} + 2 cos (x)

Сложите дроби

- \frac{- cos ( x ) + 1}{2} + cos^{2} (x) + 2 cos (x) : \frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2}

- \frac{- cos ( x ) + 1}{2} + cos^{2} (x) + 2 cos (x)

Преобразуйте элемент в дробь:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x ) 2}{2}, 2 cos (x) = \frac{2 cos ( x ) 2}{2}

= - \frac{1 - cos ( x )}{2} + \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 2}{2} + \frac{2 cos ( x ) \cdot 2}{2}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( 1 - cos ( x ) ) + cos ^{2} ( x ) \cdot 2 + 2 cos ( x ) \cdot 2}{2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- ( - cos ( x ) + 1 ) + 2 cos ^{2} ( x ) + 4 cos ( x )}{2}

Расширить

- (1 - cos (x)) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x) : 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

- (1 - cos (x)) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x)

= - (1 - cos (x)) + 2 cos^{2} (x) + 4 cos (x)

- (1 - cos (x)) : - 1 + cos (x)

- (1 - cos (x))

Расставьте скобки

= - (1) - (- cos (x))

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos (x)

= - 1 + cos (x) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x)

Упростить

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x) : 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) \cdot 2 + 4 cos (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= cos (x) + 2 cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 1

Добавьте похожие элементы:

cos (x) + 4 cos (x) = 5 cos (x)

= 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

= 5 cos (x) + 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2}

= \frac{2 cos ^{2} ( x ) + 5 cos ( x ) - 1}{2} + 2

= \frac{5 cos ( x ) + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2} + 2

2 + \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x ) + 5 cos ( x )}{2} = 0

Решитe подстановкой

2 + \frac{- 1 + 2 cos ^{2} ( x ) + 5 cos ( x )}{2} = 0

Допустим:

cos (x) = u

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{3}{2}

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

Умножьте обе части на

2

2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} = 0

Умножьте обе части на

2

2 \cdot 2 + \frac{- 1 + 2 u ^{2} + 5 u}{2} \cdot 2 = 0 \cdot 2

После упрощения получаем

4 - 1 + 2 u^{2} + 5 u = 0

4 - 1 + 2 u^{2} + 5 u = 0

2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 2, b = 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2}

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} - 24

5^{2} = 25

= 25 - 24

Вычтите числа:

25 - 24 = 1

= 1

Примените правило

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 1}{2 \cdot 2}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 5 + 1}{2 \cdot 2}

Прибавьте/Вычтите числа:

- 5 + 1 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Примените правило

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 5 - 1}{2 \cdot 2}

Вычтите числа:

- 5 - 1 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 6}{4}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{4}

Отмените общий множитель:

2

= - \frac{3}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = - 1, u = - \frac{3}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = - 1, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Общие решения для

cos (x) = - 1

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Не имеет решения

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Не имеет решения

Объедините все решения

x = π + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры