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Beliebt Trigonometrie >

3cos^2(θ)+6cos(θ)-4=0

Lösung

3 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 4 = 0

Lösung

θ = 1.01511 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.01511 \dots + 2 πn

Grad

θ = 58.16160 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 301.83839 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 4 = 0

Löse mit Substitution

3 cos^{2} (θ) + 6 cos (θ) - 4 = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0 : u = \frac{- 3 + 21}{3}, u = - \frac{3 + 21}{3}

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} + 6 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = 6, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 4 )}{2 \cdot 3}

6^{2} - 4 \cdot 3 (- 4) = 221

6^{2} - 4 \cdot 3 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 4 = 48

= 6^{2} + 48

6^{2} = 36

= 36 + 48

Addiere die Zahlen:

36 + 48 = 84

= 84

Primfaktorzerlegung von

84 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

84

84

ist durch

284 = 42 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 42

42

ist durch

242 = 21 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 221

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2 21}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 2 21}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- 6 - 2 21}{2 \cdot 3}

u = \frac{- 6 + 2 21}{2 \cdot 3} : \frac{- 3 + 21}{3}

\frac{- 6 + 2 21}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6 + 2 21}{6}

Faktorisiere

- 6 + 221 : 2 (- 3 + 21)

- 6 + 221

Schreibe um

= - 2 \cdot 3 + 221

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 3 + 21)

= \frac{2 ( - 3 + 21 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 3 + 21}{3}

u = \frac{- 6 - 2 21}{2 \cdot 3} : - \frac{3 + 21}{3}

\frac{- 6 - 2 21}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6 - 2 21}{6}

Faktorisiere

- 6 - 221 : - 2 (3 + 21)

- 6 - 221

Schreibe um

= - 2 \cdot 3 - 221

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (3 + 21)

= - \frac{2 ( 3 + 21 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3 + 21}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 3 + 21}{3}, u = - \frac{3 + 21}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}, cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3}

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}, cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3}

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3} : θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{- 3 + 21}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{3 + 21}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 3 + 21}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.01511 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.01511 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

arccos(x)=1

arccos (x) = 1

cos(x)=sqrt(3/4)

cos (x) = \frac{3}{4}

sin(x)=sin(x/2)

sin (x) = sin (\frac{x}{2})

sec(x)-2=-tan(x)-3

sec (x) - 2 = - tan (x) - 3

-9.81+5(32.17)(12/2)sin(θ)=0

- 9.81 + 5 (32.17) (\frac{12}{2}) sin (θ) = 0