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Populaire Trigonométrie >

(2tan(3x))/(1-tan^2(3x))=1

Solution

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Solution

x = - \frac{1.17809 \dots}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{0.39269 \dots}{3} + \frac{πn}{3}

Degrés

x = - 22. 5^{\circ} + 6 0^{\circ} n, x = 7. 5^{\circ} + 6 0^{\circ} n

étapes des solutions

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Résoudre par substitution

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Soit :

tan (3 x) = u

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1 : u = - 1 - 2, u = 2 - 1

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

Multiplier les deux côtés par

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

Multiplier les deux côtés par

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 1 \cdot (1 - u^{2})

Simplifier

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 1 \cdot (1 - u^{2})

Simplifier

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) : 2 u

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2})

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

1 - u^{2}

= 2 u

Simplifier

1 \cdot (1 - u^{2}) : 1 - u^{2}

1 \cdot (1 - u^{2})

Multiplier:

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2})

= (1 - u^{2})

Retirer les parenthèses:

(a) = a

= 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

Résoudre

2 u = 1 - u^{2} : u = - 1 - 2, u = 2 - 1

2 u = 1 - u^{2}

Transposer les termes des côtés

1 - u^{2} = 2 u

Déplacer

2 u

vers la gauche

1 - u^{2} = 2 u

Soustraire

2 u

des deux côtés

1 - u^{2} - 2 u = 2 u - 2 u

Simplifier

1 - u^{2} - 2 u = 0

1 - u^{2} - 2 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 2 u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- u^{2} - 2 u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 22

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Additionner les nombres :

4 + 4 = 8

= 8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 2}{2}

Annuler

\frac{2 + 2 2}{2} : 1 + 2

\frac{2 + 2 2}{2}

Factoriser

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Récrire comme

= 2 \cdot 1 + 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

= - (1 + 2)

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (2)

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - 1 - 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 22 = - (22 - 2)

= \frac{2 2 - 2}{2}

Factoriser

22 - 2 : 2 (2 - 1)

22 - 2

Récrire comme

= 22 - 2 \cdot 1

Factoriser le terme commun

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 1, u = - 1

Prendre le(s) dénominateur(s) de

\frac{2 u}{1 - u ^{2}}

et le comparer à zéro

Résoudre

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Déplacer

1

vers la droite

1 - u^{2} = 0

Soustraire

1

des deux côtés

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplifier

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 1

- u^{2} = - 1

Diviser les deux côtés par

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplifier

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Appliquer la règle des radicaux:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Appliquer la règle des radicaux:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Les points suivants ne sont pas définis

u = 1, u = - 1

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

Remplacer

u = tan (3 x)

tan (3 x) = - 1 - 2, tan (3 x) = 2 - 1

tan (3 x) = - 1 - 2, tan (3 x) = 2 - 1

tan (3 x) = - 1 - 2 : x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = - 1 - 2

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

tan (3 x) = - 1 - 2

Solutions générales pour

tan (3 x) = - 1 - 2

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

Résoudre

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn : x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

Simplifier

arctan (- 1 - 2) + πn : - arctan (1 + 2) + πn

arctan (- 1 - 2) + πn

Utiliser la propriété suivante :

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1 - 2) = - arctan (1 + 2)

= - arctan (1 + 2) + πn

3 x = - arctan (1 + 2) + πn

Diviser les deux côtés par

3

3 x = - arctan (1 + 2) + πn

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 x}{3} = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

Simplifier

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = 2 - 1 : x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = 2 - 1

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

tan (3 x) = 2 - 1

Solutions générales pour

tan (3 x) = 2 - 1

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

3 x = arctan (2 - 1) + πn

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Résoudre

3 x = arctan (2 - 1) + πn : x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Diviser les deux côtés par

3

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 x}{3} = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Simplifier

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Combiner toutes les solutions

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = - \frac{1.17809 \dots}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{0.39269 \dots}{3} + \frac{πn}{3}

Graphe

Exemples populaires

sin(x)=(sqrt(3))/3

sin (x) = \frac{3}{3}

cos(2θ)=-1/2 ,0<= θ<2pi

cos (2 θ) = - \frac{1}{2}, 0 \leq θ < 2 π

tan(x)tan(2x)=1

tan (x) tan (2 x) = 1

2sin^2(x)+7sin(x)=4

2 sin^{2} (x) + 7 sin (x) = 4

2sqrt(2)cos(θ)+4=6

22 cos (θ) + 4 = 6