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Populaire Trigonométrie >

20cos^6(x)-57cos^4(x)+27cos^2(x)=0

Solution

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Solution

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Degrés

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 39.23152 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 320.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{3} = u^{6}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Résoudre

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0 : v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Factoriser

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v : v (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Factoriser le terme commun

v : v (20 v^{2} - 57 v + 27)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 v^{2} v - 57 vv + 27 v

Factoriser le terme commun

v

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

Factoriser

20 v^{2} - 57 v + 27 : (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{2} - 57 v + 27

Décomposer l'expression en groupes

20 v^{2} - 57 v + 27

Définition

Facteurs de

540 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

540

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

540 : 2, 2, 3, 3, 3, 5

540

540

divisée par

2540 = 270 \cdot 2

= 2 \cdot 270

270

divisée par

2270 = 135 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 135

135

divisée par

3135 = 45 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 45

45

divisée par

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15

15

divisée par

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplier les facteurs premiers de

540 : 4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

Ajouter les facteurs premiers :

2, 3, 5

Ajouter 1 et le nombre

540

lui-même

1, 540

Les facteurs de

540

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

Facteurs négatifs de

540 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = 540,

vérifier si

u + v = - 57

Vérifier

u = 1, v = 540 : u * v = 540, u + v = 541 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = 270 : u * v = 540, u + v = 272 \Rightarrow

Faux

u = - 12, v = - 45

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

= (20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

Factoriser

4 v

depuis

20 v^{2} - 12 v : 4 v (5 v - 3)

20 v^{2} - 12 v

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 vv - 12 v

Récrire

12

comme

4 \cdot 3

Récrire

20

comme

4 \cdot 5

= 4 \cdot 5 vv - 4 \cdot 3 v

Factoriser le terme commun

4 v

= 4 v (5 v - 3)

Factoriser

- 9

depuis

- 45 v + 27 : - 9 (5 v - 3)

- 45 v + 27

Récrire

27

comme

9 \cdot 3

Récrire

45

comme

9 \cdot 5

= - 9 \cdot 5 v + 9 \cdot 3

Factoriser le terme commun

- 9

= - 9 (5 v - 3)

= 4 v (5 v - 3) - 9 (5 v - 3)

Factoriser le terme commun

5 v - 3

= (5 v - 3) (4 v - 9)

= v (5 v - 3) (4 v - 9)

v (5 v - 3) (4 v - 9) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

v = 0 or 5 v - 3 = 0 or 4 v - 9 = 0

Résoudre

5 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{5}

5 v - 3 = 0

Déplacer

3

vers la droite

5 v - 3 = 0

Ajouter

3

aux deux côtés

5 v - 3 + 3 = 0 + 3

Simplifier

5 v = 3

5 v = 3

Diviser les deux côtés par

5

5 v = 3

Diviser les deux côtés par

5

\frac{5 v}{5} = \frac{3}{5}

Simplifier

v = \frac{3}{5}

v = \frac{3}{5}

Résoudre

4 v - 9 = 0 : v = \frac{9}{4}

4 v - 9 = 0

Déplacer

9

vers la droite

4 v - 9 = 0

Ajouter

9

aux deux côtés

4 v - 9 + 9 = 0 + 9

Simplifier

4 v = 9

4 v = 9

Diviser les deux côtés par

4

4 v = 9

Diviser les deux côtés par

4

\frac{4 v}{4} = \frac{9}{4}

Simplifier

v = \frac{9}{4}

v = \frac{9}{4}

Les solutions sont

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Résoudre

u^{2} = \frac{3}{5} : u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

u^{2} = \frac{3}{5}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

Résoudre

u^{2} = \frac{9}{4} : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{9}{4}

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = \frac{9}{4}, u = - \frac{9}{4}

\frac{9}{4} = \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Factoriser le nombre :

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

- \frac{9}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{9}{4}

Simplifier

\frac{9}{4} : \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Appliquer la règle des radicaux :

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

en supposant

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Factoriser le nombre :

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Les solutions sont

u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{3}{5}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{3}{5}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2} :

Aucune solution

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Aucune solution

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

2sin^2(w)-3sin(w)+1=0

2 sin^{2} (w) - 3 sin (w) + 1 = 0

2+sin(x)=5sin(x)

2 + sin (x) = 5 sin (x)

2cos(θ)+5=0

2 cos (θ) + 5 = 0

sin(x)cos(x)=cos(x)

sin (x) cos (x) = cos (x)

2cos(2θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

2 cos (2 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π