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20cos^6(x)-57cos^4(x)+27cos^2(x)=0

Solución

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Solución

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Grados

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 39.23152 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 320.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

Re-escribir la ecuación con

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{3} = u^{6}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Resolver

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0 : v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Factorizar

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v : v (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Factorizar el termino común

v : v (20 v^{2} - 57 v + 27)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 v^{2} v - 57 vv + 27 v

Factorizar el termino común

v

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

Factorizar

20 v^{2} - 57 v + 27 : (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{2} - 57 v + 27

Factorizar la expresión

20 v^{2} - 57 v + 27

Definición

Factores de

540 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

540

Divisores (factores)

Encontrar los factores primos de

540 : 2, 2, 3, 3, 3, 5

540

540

divida por

2540 = 270 \cdot 2

= 2 \cdot 270

270

divida por

2270 = 135 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 135

135

divida por

3135 = 45 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 45

45

divida por

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15

15

divida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplicar los factores primos de

540 : 4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

Agregar factores primos:

2, 3, 5

Agregar 1 y su propio número

540

1, 540

Divisores de

540

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

Factores negativos de

540 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Multiplicar los números por

- 1

para obtener divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Por cada dos factores tales que

u * v = 540,

revisar si

u + v = - 57

Revisar

u = 1, v = 540 : u * v = 540, u + v = 541 \Rightarrow

FalsoRevisar

u = 2, v = 270 : u * v = 540, u + v = 272 \Rightarrow

Falso

u = - 12, v = - 45

Agrupar en

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

= (20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

Factorizar

4 v

20 v^{2} - 12 v

4 v (5 v - 3)

20 v^{2} - 12 v

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 vv - 12 v

Reescribir

12

como

4 \cdot 3

Reescribir

20

como

4 \cdot 5

= 4 \cdot 5 vv - 4 \cdot 3 v

Factorizar el termino común

4 v

= 4 v (5 v - 3)

Factorizar

- 9

- 45 v + 27

- 9 (5 v - 3)

- 45 v + 27

Reescribir

27

como

9 \cdot 3

Reescribir

45

como

9 \cdot 5

= - 9 \cdot 5 v + 9 \cdot 3

Factorizar el termino común

- 9

= - 9 (5 v - 3)

= 4 v (5 v - 3) - 9 (5 v - 3)

Factorizar el termino común

5 v - 3

= (5 v - 3) (4 v - 9)

= v (5 v - 3) (4 v - 9)

v (5 v - 3) (4 v - 9) = 0

Utilizando el teorema de factor cero: si

ab = 0

entonces

a = 0

b = 0

v = 0 or 5 v - 3 = 0 or 4 v - 9 = 0

Resolver

5 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{5}

5 v - 3 = 0

Mover

3

al lado derecho

5 v - 3 = 0

Sumar

3

a ambos lados

5 v - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

5 v = 3

5 v = 3

Dividir ambos lados entre

5

5 v = 3

Dividir ambos lados entre

5

\frac{5 v}{5} = \frac{3}{5}

Simplificar

v = \frac{3}{5}

v = \frac{3}{5}

Resolver

4 v - 9 = 0 : v = \frac{9}{4}

4 v - 9 = 0

Mover

9

al lado derecho

4 v - 9 = 0

Sumar

9

a ambos lados

4 v - 9 + 9 = 0 + 9

Simplificar

4 v = 9

4 v = 9

Dividir ambos lados entre

4

4 v = 9

Dividir ambos lados entre

4

\frac{4 v}{4} = \frac{9}{4}

Simplificar

v = \frac{9}{4}

v = \frac{9}{4}

Las soluciones son

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

Sustituir hacia atrás la

v = u^{2},

resolver para

u

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar la regla

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Resolver

u^{2} = \frac{3}{5} : u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

u^{2} = \frac{3}{5}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

Resolver

u^{2} = \frac{9}{4} : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{9}{4}

Para

x^{2} = f (a)

las soluciones son

x = f (a), - f (a)

u = \frac{9}{4}, u = - \frac{9}{4}

\frac{9}{4} = \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

- \frac{9}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{9}{4}

Simplificar

\frac{9}{4} : \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Descomponer el número en factores primos:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Descomponer el número en factores primos:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Las soluciones son

u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluciones generales para

cos (x) = 0

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{3}{5}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{3}{5}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Sin solución

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

2sin^2(w)-3sin(w)+1=0

2 sin^{2} (w) - 3 sin (w) + 1 = 0

2+sin(x)=5sin(x)

2 + sin (x) = 5 sin (x)

2cos(θ)+5=0

2 cos (θ) + 5 = 0

sin(x)cos(x)=cos(x)

sin (x) cos (x) = cos (x)

2cos(2θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

2 cos (2 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π