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20cos^6(x)-57cos^4(x)+27cos^2(x)=0

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Solution

20cos6(x)−57cos4(x)+27cos2(x)=0

Solution

x=2π​+2πn,x=23π​+2πn,x=0.68471…+2πn,x=2π−0.68471…+2πn,x=2.45687…+2πn,x=−2.45687…+2πn
+1
Degrés
x=90∘+360∘n,x=270∘+360∘n,x=39.23152…∘+360∘n,x=320.76847…∘+360∘n,x=140.76847…∘+360∘n,x=−140.76847…∘+360∘n
étapes des solutions
20cos6(x)−57cos4(x)+27cos2(x)=0
Résoudre par substitution
20cos6(x)−57cos4(x)+27cos2(x)=0
Soit : cos(x)=u20u6−57u4+27u2=0
20u6−57u4+27u2=0:u=0,u=53​​,u=−53​​,u=23​,u=−23​
20u6−57u4+27u2=0
Récrire l'équation avec v=u2,v2=u4 et v3=u620v3−57v2+27v=0
Résoudre 20v3−57v2+27v=0:v=0,v=53​,v=49​
20v3−57v2+27v=0
Factoriser 20v3−57v2+27v:v(5v−3)(4v−9)
20v3−57v2+27v
Factoriser le terme commun v:v(20v2−57v+27)
20v3−57v2+27v
Appliquer la règle de l'exposant: ab+c=abacv2=vv=20v2v−57vv+27v
Factoriser le terme commun v=v(20v2−57v+27)
=v(20v2−57v+27)
Factoriser 20v2−57v+27:(5v−3)(4v−9)
20v2−57v+27
Décomposer l'expression en groupes
20v2−57v+27
Définition
Facteurs de 540:1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,27,30,36,45,54,60,90,108,135,180,270,540
540
Diviseurs (Facteurs)
Trouver les facteurs premiers de 540:2,2,3,3,3,5
540
540divisée par 2540=270⋅2=2⋅270
270divisée par 2270=135⋅2=2⋅2⋅135
135divisée par 3135=45⋅3=2⋅2⋅3⋅45
45divisée par 345=15⋅3=2⋅2⋅3⋅3⋅15
15divisée par 315=5⋅3=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅5
2,3,5 sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅5
Multiplier les facteurs premiers de 540:4,6,12,9,18,36,27,54,108,10,20,15,30,60,45,90,180,135,270
2⋅2=42⋅3=6
4,6,12,9,18,36,27,54,108,10,20,15,30,60,45,90,180,135,270
4,6,12,9,18,36,27,54,108,10,20,15,30,60,45,90,180,135,270
Ajouter les facteurs premiers : 2,3,5
Ajouter 1 et le nombre 540 lui-même1,540
Les facteurs de 5401,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,27,30,36,45,54,60,90,108,135,180,270,540
Facteurs négatifs de 540:−1,−2,−3,−4,−5,−6,−9,−10,−12,−15,−18,−20,−27,−30,−36,−45,−54,−60,−90,−108,−135,−180,−270,−540
Multiplier les facteurs par −1 pour obtenir des facteurs négatifs−1,−2,−3,−4,−5,−6,−9,−10,−12,−15,−18,−20,−27,−30,−36,−45,−54,−60,−90,−108,−135,−180,−270,−540
Pour chaque deux facteurs tels que u∗v=540,vérifier si u+v=−57
Vérifier u=1,v=540:u∗v=540,u+v=541⇒FauxVérifier u=2,v=270:u∗v=540,u+v=272⇒Faux
u=−12,v=−45
Grouper dans (ax2+ux)+(vx+c)(20v2−12v)+(−45v+27)
=(20v2−12v)+(−45v+27)
Factoriser 4vdepuis 20v2−12v:4v(5v−3)
20v2−12v
Appliquer la règle de l'exposant: ab+c=abacv2=vv=20vv−12v
Récrire 12 comme 4⋅3Récrire 20 comme 4⋅5=4⋅5vv−4⋅3v
Factoriser le terme commun 4v=4v(5v−3)
Factoriser −9depuis −45v+27:−9(5v−3)
−45v+27
Récrire 27 comme 9⋅3Récrire 45 comme 9⋅5=−9⋅5v+9⋅3
Factoriser le terme commun −9=−9(5v−3)
=4v(5v−3)−9(5v−3)
Factoriser le terme commun 5v−3=(5v−3)(4v−9)
=v(5v−3)(4v−9)
v(5v−3)(4v−9)=0
En utilisant le principe du facteur zéro : Si ab=0alors a=0ou b=0v=0or5v−3=0or4v−9=0
Résoudre 5v−3=0:v=53​
5v−3=0
Déplacer 3vers la droite
5v−3=0
Ajouter 3 aux deux côtés5v−3+3=0+3
Simplifier5v=3
5v=3
Diviser les deux côtés par 5
5v=3
Diviser les deux côtés par 555v​=53​
Simplifierv=53​
v=53​
Résoudre 4v−9=0:v=49​
4v−9=0
Déplacer 9vers la droite
4v−9=0
Ajouter 9 aux deux côtés4v−9+9=0+9
Simplifier4v=9
4v=9
Diviser les deux côtés par 4
4v=9
Diviser les deux côtés par 444v​=49​
Simplifierv=49​
v=49​
Les solutions sontv=0,v=53​,v=49​
v=0,v=53​,v=49​
Resubstituer v=u2,résoudre pour u
Résoudre u2=0:u=0
u2=0
Appliquer la règle xn=0⇒x=0
u=0
Résoudre u2=53​:u=53​​,u=−53​​
u2=53​
Pour x2=f(a) les solutions sont x=f(a)​,−f(a)​
u=53​​,u=−53​​
Résoudre u2=49​:u=23​,u=−23​
u2=49​
Pour x2=f(a) les solutions sont x=f(a)​,−f(a)​
u=49​​,u=−49​​
49​​=23​
49​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​9​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=29​​
9​=3
9​
Factoriser le nombre : 9=32=32​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a32​=3=3
=23​
−49​​=−23​
−49​​
Simplifier 49​​:23​
49​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=4​9​​
4​=2
4​
Factoriser le nombre : 4=22=22​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a22​=2=2
=29​​
9​=3
9​
Factoriser le nombre : 9=32=32​
Appliquer la règle des radicaux: nan​=a32​=3=3
=23​
=−23​
u=23​,u=−23​
Les solutions sont
u=0,u=53​​,u=−53​​,u=23​,u=−23​
Remplacer u=cos(x)cos(x)=0,cos(x)=53​​,cos(x)=−53​​,cos(x)=23​,cos(x)=−23​
cos(x)=0,cos(x)=53​​,cos(x)=−53​​,cos(x)=23​,cos(x)=−23​
cos(x)=0:x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
cos(x)=0
Solutions générales pour cos(x)=0
Tableau de périodicité cos(x) avec un cycle 2πn :
x06π​4π​3π​2π​32π​43π​65π​​cos(x)123​​22​​21​0−21​−22​​−23​​​xπ67π​45π​34π​23π​35π​47π​611π​​cos(x)−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​​​
x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
x=2π​+2πn,x=23π​+2πn
cos(x)=53​​:x=arccos(53​​)+2πn,x=2π−arccos(53​​)+2πn
cos(x)=53​​
Appliquer les propriétés trigonométriques inverses
cos(x)=53​​
Solutions générales pour cos(x)=53​​cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(53​​)+2πn,x=2π−arccos(53​​)+2πn
x=arccos(53​​)+2πn,x=2π−arccos(53​​)+2πn
cos(x)=−53​​:x=arccos(−53​​)+2πn,x=−arccos(−53​​)+2πn
cos(x)=−53​​
Appliquer les propriétés trigonométriques inverses
cos(x)=−53​​
Solutions générales pour cos(x)=−53​​cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−53​​)+2πn,x=−arccos(−53​​)+2πn
x=arccos(−53​​)+2πn,x=−arccos(−53​​)+2πn
cos(x)=23​:Aucune solution
cos(x)=23​
−1≤cos(x)≤1Aucunesolution
cos(x)=−23​:Aucune solution
cos(x)=−23​
−1≤cos(x)≤1Aucunesolution
Combiner toutes les solutionsx=2π​+2πn,x=23π​+2πn,x=arccos(53​​)+2πn,x=2π−arccos(53​​)+2πn,x=arccos(−53​​)+2πn,x=−arccos(−53​​)+2πn
Montrer les solutions sous la forme décimalex=2π​+2πn,x=23π​+2πn,x=0.68471…+2πn,x=2π−0.68471…+2πn,x=2.45687…+2πn,x=−2.45687…+2πn

Graphe

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Exemples populaires

2sin^2(w)-3sin(w)+1=02sin2(w)−3sin(w)+1=02+sin(x)=5sin(x)2+sin(x)=5sin(x)2cos(θ)+5=02cos(θ)+5=0sin(x)cos(x)=cos(x)sin(x)cos(x)=cos(x)2cos(2θ)+1=0,0<= θ<= 2pi2cos(2θ)+1=0,0≤θ≤2π
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