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Popular Trigonometria >

20cos^6(x)-57cos^4(x)+27cos^2(x)=0

Solução

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Graus

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 39.23152 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 320.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{3} = u^{6}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Resolver

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0 : v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Fatorar

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v : v (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Fatorar o termo comum

v : v (20 v^{2} - 57 v + 27)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 v^{2} v - 57 vv + 27 v

Fatorar o termo comum

v

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

Fatorar

20 v^{2} - 57 v + 27 : (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{2} - 57 v + 27

Fatorar a expressão

20 v^{2} - 57 v + 27

Definição

Fatores de

540 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

540

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

540 : 2, 2, 3, 3, 3, 5

540

540

dividida por

2540 = 270 \cdot 2

= 2 \cdot 270

270

dividida por

2270 = 135 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 135

135

dividida por

3135 = 45 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 45

45

dividida por

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplique os fatores primos de

540 : 4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

Adicione os fatores primos:

2, 3, 5

Adicione 1 e o próprio número

540

1, 540

Divisores de

540

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

Fatores negativos de

540 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Para cada dois fatores tais que

u * v = 540,

verifique se

u + v = - 57

Verifique

u = 1, v = 540 : u * v = 540, u + v = 541 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = 270 : u * v = 540, u + v = 272 \Rightarrow

Falso

u = - 12, v = - 45

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

= (20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

Fatorar

4 v

20 v^{2} - 12 v

4 v (5 v - 3)

20 v^{2} - 12 v

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 vv - 12 v

Reescrever

12

como

4 \cdot 3

Reescrever

20

como

4 \cdot 5

= 4 \cdot 5 vv - 4 \cdot 3 v

Fatorar o termo comum

4 v

= 4 v (5 v - 3)

Fatorar

- 9

- 45 v + 27

- 9 (5 v - 3)

- 45 v + 27

Reescrever

27

como

9 \cdot 3

Reescrever

45

como

9 \cdot 5

= - 9 \cdot 5 v + 9 \cdot 3

Fatorar o termo comum

- 9

= - 9 (5 v - 3)

= 4 v (5 v - 3) - 9 (5 v - 3)

Fatorar o termo comum

5 v - 3

= (5 v - 3) (4 v - 9)

= v (5 v - 3) (4 v - 9)

v (5 v - 3) (4 v - 9) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

v = 0 or 5 v - 3 = 0 or 4 v - 9 = 0

Resolver

5 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{5}

5 v - 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

5 v - 3 = 0

Adicionar

3

a ambos os lados

5 v - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

5 v = 3

5 v = 3

Dividir ambos os lados por

5

5 v = 3

Dividir ambos os lados por

5

\frac{5 v}{5} = \frac{3}{5}

Simplificar

v = \frac{3}{5}

v = \frac{3}{5}

Resolver

4 v - 9 = 0 : v = \frac{9}{4}

4 v - 9 = 0

Mova

9

para o lado direito

4 v - 9 = 0

Adicionar

9

a ambos os lados

4 v - 9 + 9 = 0 + 9

Simplificar

4 v = 9

4 v = 9

Dividir ambos os lados por

4

4 v = 9

Dividir ambos os lados por

4

\frac{4 v}{4} = \frac{9}{4}

Simplificar

v = \frac{9}{4}

v = \frac{9}{4}

As soluções são

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Resolver

u^{2} = \frac{3}{5} : u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

u^{2} = \frac{3}{5}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

Resolver

u^{2} = \frac{9}{4} : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{9}{4}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{9}{4}, u = - \frac{9}{4}

\frac{9}{4} = \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

- \frac{9}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{9}{4}

Simplificar

\frac{9}{4} : \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Aplicar a seguinte propriedade dos radicais:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumindo que

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Fatorar o número:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

As soluções são

u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{3}{5}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{3}{5}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2} :

Sem solução

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

2sin^2(w)-3sin(w)+1=0

2 sin^{2} (w) - 3 sin (w) + 1 = 0

2+sin(x)=5sin(x)

2 + sin (x) = 5 sin (x)

2cos(θ)+5=0

2 cos (θ) + 5 = 0

sin(x)cos(x)=cos(x)

sin (x) cos (x) = cos (x)

2cos(2θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

2 cos (2 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π