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Beliebt Trigonometrie >

3cos(2θ)+2=-cos(θ)

Lösung

3 cos (2 θ) + 2 = - cos (θ)

Lösung

θ = 1.23095 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 70.52877 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 289.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 θ) + 2 = - cos (θ)

Subtrahiere

- cos (θ)

von beiden Seiten

3 cos (2 θ) + 2 + cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 + cos (θ) + 3 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 + cos (θ) + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Vereinfache

2 + cos (θ) + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

2 + cos (θ) + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Multipliziere aus

3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Vereinfache

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1 : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 2 + cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 3

Vereinfache

2 + cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 3 : 6 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

2 + cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) + 2 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

2 - 3 = - 1

= 6 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

= 6 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

= 6 cos^{2} (θ) + cos (θ) - 1

- 1 + cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 1 + cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 1 + u + 6 u^{2} = 0

- 1 + u + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{2}

- 1 + u + 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} + u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} + u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 1 )}{2 \cdot 6}

1^{2} - 4 \cdot 6 (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 6 (- 1)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 6 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 6 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 1 + 24

Addiere die Zahlen:

1 + 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 6}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 6} : \frac{1}{3}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 5 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{4}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{3}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 6} : - \frac{1}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 5 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 6}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{1}{3} : θ = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{3}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.23095 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 1.23095 \dots + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=(7.2)/(9.4)

cos (x) = \frac{7.2}{9.4}

sin(θ)=-sqrt(2)-cos(θ)

sin (θ) = - 2 - cos (θ)

sin(2θ)=3cos(2θ)

sin (2 θ) = 3 cos (2 θ)

1-cos(2x)=sin(2x)

1 - cos (2 x) = sin (2 x)

cos(θ)=5

cos (θ) = 5