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Beliebt Trigonometrie >

2(sin(x))^2-5cos(x)+1=0

Lösung

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0

Füge

5 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (x) + 1 = 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} = (5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - 25 cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - 25 cos^{2} (x) : (2 sin^{2} (x) + 1 + 5 cos (x)) (2 sin^{2} (x) + 1 - 5 cos (x))

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - 25 cos^{2} (x)

Schreibe

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - 25 cos^{2} (x)

um:

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - (5 cos (x))^{2}

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - 25 cos^{2} (x)

Schreibe

25

um:

5^{2}

= (2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - 5^{2} cos^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

5^{2} cos^{2} (x) = (5 cos (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - (5 cos (x))^{2}

= (2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - (5 cos (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin^{2} (x) + 1)^{2} - (5 cos (x))^{2} = ((2 sin^{2} (x) + 1) + 5 cos (x)) ((2 sin^{2} (x) + 1) - 5 cos (x))

= ((2 sin^{2} (x) + 1) + 5 cos (x)) ((2 sin^{2} (x) + 1) - 5 cos (x))

Fasse zusammen

= (2 sin^{2} (x) + 5 cos (x) + 1) (2 sin^{2} (x) - 5 cos (x) + 1)

(2 sin^{2} (x) + 1 + 5 cos (x)) (2 sin^{2} (x) + 1 - 5 cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

2 sin^{2} (x) + 1 + 5 cos (x) = 0 or 2 sin^{2} (x) + 1 - 5 cos (x) = 0

2 sin^{2} (x) + 1 + 5 cos (x) = 0 : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) + 1 + 5 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + 2 sin^{2} (x) + 5 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 5 cos (x)

Vereinfache

1 + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 5 cos (x) : 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

1 + 2 (1 - cos^{2} (x)) + 5 cos (x)

Multipliziere aus

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 1 + 2 - 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

= 5 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

3 - 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

3 - 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 - 2 u^{2} + 5 u = 0

3 - 2 u^{2} + 5 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 3

3 - 2 u^{2} + 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 5 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

5^{2} - 4 (- 2) \cdot 3 = 7

5^{2} - 4 (- 2) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Addiere die Zahlen:

25 + 24 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 2 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 5 + 7}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 + 7}{- 2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 7 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 2 )} : 3

\frac{- 5 - 7}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 - 7}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 7 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 12}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{4} = 3

= 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 3

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 3

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 3

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 3 :

Keine Lösung

cos (x) = 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) + 1 - 5 cos (x) = 0 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

2 sin^{2} (x) + 1 - 5 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + 2 sin^{2} (x) - 5 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 + 2 (1 - cos^{2} (x)) - 5 cos (x)

Vereinfache

1 + 2 (1 - cos^{2} (x)) - 5 cos (x) : - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 3

1 + 2 (1 - cos^{2} (x)) - 5 cos (x)

Multipliziere aus

2 (1 - cos^{2} (x)) : 2 - 2 cos^{2} (x)

2 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 cos^{2} (x)

= 1 + 2 - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 3

= - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 3

3 - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

3 - 2 cos^{2} (x) - 5 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 - 2 u^{2} - 5 u = 0

3 - 2 u^{2} - 5 u = 0 : u = - 3, u = \frac{1}{2}

3 - 2 u^{2} - 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 5 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 5 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 5, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 2) \cdot 3 = 7

(- 5)^{2} - 4 (- 2) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Addiere die Zahlen:

25 + 24 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 7}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 2 )} : - 3

\frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 7}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

5 + 7 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{12}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{4} = 3

= - 3

u = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 7}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 7 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 3, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 3, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 3 :

Keine Lösung

cos (x) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{2 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0

ein, um zu lösen

2 (sin (\frac{2 π}{3} + 2 π 1))^{2} - 5 cos (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + 1 = 0

Fasse zusammen

5 = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{4 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{4 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{4 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{4 π}{3} + 2 π 1

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0

ein, um zu lösen

2 (sin (\frac{4 π}{3} + 2 π 1))^{2} - 5 cos (\frac{4 π}{3} + 2 π 1) + 1 = 0

Fasse zusammen

5 = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0

ein, um zu lösen

2 (sin (\frac{π}{3} + 2 π 1))^{2} - 5 cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) + 1 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

2 (sin (x))^{2} - 5 cos (x) + 1 = 0

ein, um zu lösen

2 (sin (\frac{5 π}{3} + 2 π 1))^{2} - 5 cos (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) + 1 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin(x)cos(x)=3cos(x)

5 sin (x) cos (x) = 3 cos (x)

sqrt(3)cos(x)+sin(x)=sqrt(2)

3 cos (x) + sin (x) = 2

9cosh(x)-5sinh(x)=15

9 cosh (x) - 5 sinh (x) = 15

3sin(x)=sqrt(3)cos(x)

3 sin (x) = 3 cos (x)

-4sin^2(θ)-7sin(θ)+4=0

- 4 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ) + 4 = 0