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Popular Trigonometría >

9cosh(x)-5sinh(x)=15

Solución

9 cosh (x) - 5 sinh (x) = 15

Solución

x = ln (7), x = - ln (2)

Grados

x = 111.49243 \dots^{\circ}, x = - 39.71440 \dots^{\circ}

Pasos de solución

9 cosh (x) - 5 sinh (x) = 15

Re-escribir usando identidades trigonométricas

9 cosh (x) - 5 sinh (x) = 15

Utilizar la identidad hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

9 cosh (x) - 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 15

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

9 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 15

9 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 15

9 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 15 : x = ln (7), x = - ln (2)

9 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 15

Aplicar las leyes de los exponentes

9 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 15

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

9 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 15

9 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 15

Re escribir la ecuación con

e^{x} = u

9 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} = 15

Resolver

9 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 15 : u = 7, u = \frac{1}{2}

9 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} - 5 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 15

Simplificar

\frac{9 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} - \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 15

Multiplicar ambos lados por

2 u

\frac{9 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} - \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 15

Multiplicar ambos lados por

2 u

\frac{9 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u - \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 15 \cdot 2 u

Simplificar

\frac{9 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u - \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 15 \cdot 2 u

Simplificar

\frac{9 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 9 (u^{2} + 1)

\frac{9 ( u ^{2} + 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{9 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{9 ( u ^{2} + 1 ) u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 9 (u^{2} + 1)

Simplificar

- \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u : - 5 (u^{2} - 1)

- \frac{5 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{5 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{5 ( u ^{2} - 1 ) u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= - 5 (u^{2} - 1)

Simplificar

15 \cdot 2 u : 30 u

15 \cdot 2 u

Multiplicar los numeros:

15 \cdot 2 = 30

= 30 u

9 (u^{2} + 1) - 5 (u^{2} - 1) = 30 u

9 (u^{2} + 1) - 5 (u^{2} - 1) = 30 u

9 (u^{2} + 1) - 5 (u^{2} - 1) = 30 u

Resolver

9 (u^{2} + 1) - 5 (u^{2} - 1) = 30 u : u = 7, u = \frac{1}{2}

9 (u^{2} + 1) - 5 (u^{2} - 1) = 30 u

Desarrollar

9 (u^{2} + 1) - 5 (u^{2} - 1) : 4 u^{2} + 14

9 (u^{2} + 1) - 5 (u^{2} - 1)

Expandir

9 (u^{2} + 1) : 9 u^{2} + 9

9 (u^{2} + 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 9, b = u^{2}, c = 1

= 9 u^{2} + 9 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

9 \cdot 1 = 9

= 9 u^{2} + 9

= 9 u^{2} + 9 - 5 (u^{2} - 1)

Expandir

- 5 (u^{2} - 1) : - 5 u^{2} + 5

- 5 (u^{2} - 1)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = u^{2}, c = 1

= - 5 u^{2} - (- 5) \cdot 1

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 5 u^{2} + 5 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 u^{2} + 5

= 9 u^{2} + 9 - 5 u^{2} + 5

Simplificar

9 u^{2} + 9 - 5 u^{2} + 5 : 4 u^{2} + 14

9 u^{2} + 9 - 5 u^{2} + 5

Agrupar términos semejantes

= 9 u^{2} - 5 u^{2} + 9 + 5

Sumar elementos similares:

9 u^{2} - 5 u^{2} = 4 u^{2}

= 4 u^{2} + 9 + 5

Sumar:

9 + 5 = 14

= 4 u^{2} + 14

= 4 u^{2} + 14

4 u^{2} + 14 = 30 u

Desplace

30 u

a la izquierda

4 u^{2} + 14 = 30 u

Restar

30 u

de ambos lados

4 u^{2} + 14 - 30 u = 30 u - 30 u

Simplificar

4 u^{2} + 14 - 30 u = 0

4 u^{2} + 14 - 30 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 30 u + 14 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 u^{2} - 30 u + 14 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 30, c = 14

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14}{2 \cdot 4}

(- 30)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 26

(- 30)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 14

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 14 = 224

= 3 0^{2} - 224

3 0^{2} = 900

= 900 - 224

Restar:

900 - 224 = 676

= 676

Descomponer el número en factores primos:

676 = 2 6^{2}

= 2 6^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{n} = a

2 6^{2} = 26

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 26}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 30 ) + 26}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 30 ) - 26}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 30 ) + 26}{2 \cdot 4} : 7

\frac{- ( - 30 ) + 26}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{30 + 26}{2 \cdot 4}

Sumar:

30 + 26 = 56

= \frac{56}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{56}{8}

Dividir:

\frac{56}{8} = 7

= 7

u = \frac{- ( - 30 ) - 26}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 30 ) - 26}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{30 - 26}{2 \cdot 4}

Restar:

30 - 26 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 7, u = \frac{1}{2}

u = 7, u = \frac{1}{2}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

9 \frac{u + u ^{- 1}}{2} - 5 \frac{u - u ^{- 1}}{2}

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = 7, u = \frac{1}{2}

u = 7, u = \frac{1}{2}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{x},

resolver para

x

Resolver

e^{x} = 7 : x = ln (7)

e^{x} = 7

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = 7

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (7)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (7)

x = ln (7)

Resolver

e^{x} = \frac{1}{2} : x = - ln (2)

e^{x} = \frac{1}{2}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{x} = \frac{1}{2}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{1}{2})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{1}{2})

Simplificar

ln (\frac{1}{2}) : - ln (2)

ln (\frac{1}{2})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

lo g_{a} (\frac{1}{x}) = - lo g_{a} (x)

= - ln (2)

x = - ln (2)

x = - ln (2)

x = ln (7), x = - ln (2)

x = ln (7), x = - ln (2)

Gráfica

Ejemplos populares

3sin(x)=sqrt(3)cos(x)

3 sin (x) = 3 cos (x)

-4sin^2(θ)-7sin(θ)+4=0

- 4 sin^{2} (θ) - 7 sin (θ) + 4 = 0

cos(8x)-cos(4x)=0

cos (8 x) - cos (4 x) = 0

cos(x)= 4/3

cos (x) = \frac{4}{3}

cos^2(θ)-sin(θ)cos(θ)=0

cos^{2} (θ) - sin (θ) cos (θ) = 0