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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)-6cos(x)-1=0

Lösung

cos^{2} (x) - 6 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 1.73379 \dots + 2 πn, x = - 1.73379 \dots + 2 πn

Grad

x = 99.33912 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 99.33912 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) - 6 cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (x) - 6 cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u^{2} - 6 u - 1 = 0

u^{2} - 6 u - 1 = 0 : u = 3 + 10, u = 3 - 10

u^{2} - 6 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 6 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 6, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 210

(- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 6)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 6^{2} + 4

6^{2} = 36

= 36 + 4

Addiere die Zahlen:

36 + 4 = 40

= 40

Primfaktorzerlegung von

40 : 2^{3} \cdot 5

40

40

ist durch

240 = 20 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

= 2^{3} \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 5

Fasse zusammen

= 210

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2 10}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2 10}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2 10}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 6 ) + 2 10}{2 \cdot 1} : 3 + 10

\frac{- ( - 6 ) + 2 10}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 + 2 10}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 + 2 10}{2}

Faktorisiere

6 + 210 : 2 (3 + 10)

6 + 210

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 10)

= \frac{2 ( 3 + 10 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 10

u = \frac{- ( - 6 ) - 2 10}{2 \cdot 1} : 3 - 10

\frac{- ( - 6 ) - 2 10}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 - 2 10}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6 - 2 10}{2}

Faktorisiere

6 - 210 : 2 (3 - 10)

6 - 210

Schreibe um

= 2 \cdot 3 - 210

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 - 10)

= \frac{2 ( 3 - 10 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 - 10

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3 + 10, u = 3 - 10

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 3 + 10, cos (x) = 3 - 10

cos (x) = 3 + 10, cos (x) = 3 - 10

cos (x) = 3 + 10 :

Keine Lösung

cos (x) = 3 + 10

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 3 - 10 : x = arccos (3 - 10) + 2 πn, x = - arccos (3 - 10) + 2 πn

cos (x) = 3 - 10

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 3 - 10

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 3 - 10

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (3 - 10) + 2 πn, x = - arccos (3 - 10) + 2 πn

x = arccos (3 - 10) + 2 πn, x = - arccos (3 - 10) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (3 - 10) + 2 πn, x = - arccos (3 - 10) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.73379 \dots + 2 πn, x = - 1.73379 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(5x)tan(x)=tan(5x)

tan (5 x) tan (x) = tan (5 x)

4sin^2(x)=1+4cos(x)

4 sin^{2} (x) = 1 + 4 cos (x)

4sec(θ)+2sqrt(3)=sec(θ)

4 sec (θ) + 23 = sec (θ)

2cos(3x)-sqrt(3)=0

2 cos (3 x) - 3 = 0

cos^2(x)-8cos(x)-1=0

cos^{2} (x) - 8 cos (x) - 1 = 0