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Beliebt Trigonometrie >

sin^5(x)=4sin(x)

Lösung

sin^{5} (x) = 4 sin (x)

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{5} (x) = 4 sin (x)

Löse mit Substitution

sin^{5} (x) = 4 sin (x)

Angenommen:

sin (x) = u

u^{5} = 4 u

u^{5} = 4 u : u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

u^{5} = 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

u^{5} = 4 u

Subtrahiere

4 u

von beiden Seiten

u^{5} - 4 u = 4 u - 4 u

Vereinfache

u^{5} - 4 u = 0

u^{5} - 4 u = 0

Faktorisiere

u^{5} - 4 u : u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{5} - 4 u

Klammere gleiche Terme aus

u : u (u^{4} - 4)

u^{5} - 4 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{5} = u^{4} u

= u^{4} u - 4 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{4} - 4)

= u (u^{4} - 4)

Faktorisiere

u^{4} - 4 : (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{4} - 4

Schreibe

u^{4} - 4

um:

(u^{2})^{2} - 2^{2}

u^{4} - 4

Schreibe

4

um:

2^{2}

= u^{4} - 2^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

u^{4} = (u^{2})^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(u^{2})^{2} - 2^{2} = (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

= (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

Faktorisiere

u^{2} - 2 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 2

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= u^{2} - (2)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (2)^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

= u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u^{2} + 2 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Löse

u^{2} + 2 = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u^{2} + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u^{2} + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u^{2} = - 2

u^{2} = - 2

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 2, u = - - 2

Vereinfache

- 2 : 2 i

- 2

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 2 i

Vereinfache

- - 2 : - 2 i

- - 2

Vereinfache

- 2 : 2 i

- 2

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Löse

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u = - 2

u = - 2

Löse

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

Die Lösungen sind

u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 0, sin (x) = 2 i, sin (x) = - 2 i, sin (x) = - 2, sin (x) = 2

sin (x) = 0, sin (x) = 2 i, sin (x) = - 2 i, sin (x) = - 2, sin (x) = 2

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 2 i :

Keine Lösung

sin (x) = 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - 2 i :

Keine Lösung

sin (x) = - 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - 2 :

Keine Lösung

sin (x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = 2 :

Keine Lösung

sin (x) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)=2+sqrt(3)

tan (x) = 2 + 3

sin(a)= 11/61

sin (a) = \frac{11}{61}

4sin(2θ)=2

4 sin (2 θ) = 2

tan(x)=1.3

tan (x) = 1.3

sin(x)=60

sin (x) = 60