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Beliebt Trigonometrie >

3-sin(θ)=cos(2θ)

Lösung

3 - sin (θ) = cos (2 θ)

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r θ \in R

Schritte zur Lösung

3 - sin (θ) = cos (2 θ)

Subtrahiere

cos (2 θ)

von beiden Seiten

3 - sin (θ) - cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 - cos (2 θ) - sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 3 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ)

Vereinfache

3 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ) : 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

3 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= 3 - 1 + 2 sin^{2} (θ) - sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

= 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 2

2 - sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 - sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

2 - u + 2 u^{2} = 0

2 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{4} + i \frac{15}{4}, u = \frac{1}{4} - i \frac{15}{4}

2 - u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 : 15 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

= 1 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 16 = - 15

= - 15

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 15 = - 1 15

= - 1 15

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 15 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 15 i}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 15 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 15 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 15 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} + i \frac{15}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 15 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 15 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 + 15 i}{4}

Schreibe

\frac{1 + 15 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{4} + \frac{15}{4} i

\frac{1 + 15 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 15 i}{4} = \frac{1}{4} + \frac{15 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{15 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{15}{4} i

u = \frac{- ( - 1 ) - 15 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} - i \frac{15}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 15 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 15 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 - 15 i}{4}

Schreibe

\frac{1 - 15 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{4} - \frac{15}{4} i

\frac{1 - 15 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 15 i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{15 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{15 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{15}{4} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4} + i \frac{15}{4}, u = \frac{1}{4} - i \frac{15}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{15}{4}, sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{15}{4}

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{15}{4}, sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{15}{4}

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{15}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{15}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{15}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{15}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r θ \in R

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=(-1)/1

tan (θ) = \frac{- 1}{1}

cot(x)=3

cot (x) = 3

cos(θ/2)=-1

cos (\frac{θ}{2}) = - 1

2sin(x)+(sqrt(3))/4 = 3/2 sin(x)

2 sin (x) + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} sin (x)

-2cos^2(θ)+sin(θ)+5=4

- 2 cos^{2} (θ) + sin (θ) + 5 = 4