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Beliebt Trigonometrie >

2-2sin^2(x/2)=sin^2(x)

Lösung

2 - 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) = sin^{2} (x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 - 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) = sin^{2} (x)

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

2 - 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 - sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 2 - (1 - cos^{2} (x)) - 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

Vereinfache

2 - (1 - cos^{2} (x)) - 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) : cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1

2 - (1 - cos^{2} (x)) - 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 2 - 1 + cos^{2} (x) - 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

Multipliziere aus

- 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2})) : - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

- 2 (1 - cos^{2} (\frac{x}{2}))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = cos^{2} (\frac{x}{2})

= - 2 \cdot 1 - (- 2) cos^{2} (\frac{x}{2})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

= 2 - 1 + cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

Vereinfache

2 - 1 + cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) : cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1

2 - 1 + cos^{2} (x) - 2 + 2 cos^{2} (\frac{x}{2})

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 - 1 - 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 - 2 = - 1

= cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1

= cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1

= cos^{2} (x) + 2 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 1

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= cos^{2} (x) + cos (2 \cdot \frac{x}{2})

Multipliziere

2 \cdot \frac{x}{2} : x

2 \cdot \frac{x}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{x \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= x

= cos^{2} (x) + cos (x)

cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u + u^{2} = 0

u + u^{2} = 0 : u = 0, u = - 1

u + u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 - 0

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 1}{2 \cdot 1} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 \cdot 1} : - 1

\frac{- 1 - 1}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 0, cos (x) = - 1

cos (x) = 0, cos (x) = - 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cos(B)-1=5cos(B)+1

3 cos (B) - 1 = 5 cos (B) + 1

cos(θ)=(sqrt(3))/4

cos (θ) = \frac{3}{4}

cos(x)=(-3)/5

cos (x) = \frac{- 3}{5}

solvefor x,sin(2x)=-1/2

so l v e f or x, sin (2 x) = - \frac{1}{2}

9cos(2θ)=27cos(θ)-18

9 cos (2 θ) = 27 cos (θ) - 18