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Beliebt Trigonometrie >

2sin(θ)-3csc(θ)+5=0

Lösung

2 sin (θ) - 3 csc (θ) + 5 = 0

Lösung

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (θ) - 3 csc (θ) + 5 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 + 2 sin (θ) - 3 csc (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= 5 + 2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )} - 3 csc (θ)

2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )} = \frac{2}{csc ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{csc ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{csc ( θ )}

= 5 + \frac{2}{csc ( θ )} - 3 csc (θ)

5 + \frac{2}{csc ( θ )} - 3 csc (θ) = 0

Löse mit Substitution

5 + \frac{2}{csc ( θ )} - 3 csc (θ) = 0

Angenommen:

csc (θ) = u

5 + \frac{2}{u} - 3 u = 0

5 + \frac{2}{u} - 3 u = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = 2

5 + \frac{2}{u} - 3 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

5 + \frac{2}{u} - 3 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

5 u + \frac{2}{u} u - 3 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

5 u + \frac{2}{u} u - 3 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2

Vereinfache

- 3 uu : - 3 u^{2}

- 3 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 3 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - 3 u^{2}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

5 u + 2 - 3 u^{2} = 0

5 u + 2 - 3 u^{2} = 0

5 u + 2 - 3 u^{2} = 0

Löse

5 u + 2 - 3 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = 2

5 u + 2 - 3 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 5 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} + 5 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = 5, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 2}{2 ( - 3 )}

5^{2} - 4 (- 3) \cdot 2 = 7

5^{2} - 4 (- 3) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Addiere die Zahlen:

25 + 24 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 5 + 7}{2 ( - 3 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- 5 + 7}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 + 7}{- 2 \cdot 3}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 7 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{3}

u = \frac{- 5 - 7}{2 ( - 3 )} : 2

\frac{- 5 - 7}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 - 7}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 7 = - 12

= \frac{- 12}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 12}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{12}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{6} = 2

= 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{3}, u = 2

u = - \frac{1}{3}, u = 2

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

5 + \frac{2}{u} - 3 u

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - \frac{1}{3}, u = 2

Setze in

u = csc (θ)

ein

csc (θ) = - \frac{1}{3}, csc (θ) = 2

csc (θ) = - \frac{1}{3}, csc (θ) = 2

csc (θ) = - \frac{1}{3} :

Keine Lösung

csc (θ) = - \frac{1}{3}

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

csc (θ) = 2 : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

csc (θ) = 2

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

csc^4(2x)-4=0

csc^{4} (2 x) - 4 = 0

sin(θ)= 4/13

sin (θ) = \frac{4}{13}

sin(3x)=-1/2 ,0<= x<= 2pi

sin (3 x) = - \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

4cos(x)-3sec(x)=0

4 cos (x) - 3 sec (x) = 0

sin(θ)= 11/61

sin (θ) = \frac{11}{61}