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7sin^2(x)+2sin(x)-2=0

Solução

7 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 = 0

Solução

x = 0.42292 \dots + 2 πn, x = π - 0.42292 \dots + 2 πn, x = - 0.77000 \dots + 2 πn, x = π + 0.77000 \dots + 2 πn

Graus

x = 24.23161 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 155.76838 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 44.11816 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 224.11816 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

7 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 = 0

Usando o método de substituição

7 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 = 0

Sea:

sin (x) = u

7 u^{2} + 2 u - 2 = 0

7 u^{2} + 2 u - 2 = 0 : u = \frac{- 1 + 15}{7}, u = - \frac{1 + 15}{7}

7 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

7 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 7, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 7 ( - 2 )}{2 \cdot 7}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 7 ( - 2 )}{2 \cdot 7}

2^{2} - 4 \cdot 7 (- 2) = 215

2^{2} - 4 \cdot 7 (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 7 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 7 \cdot 2 = 56

= 2^{2} + 56

2^{2} = 4

= 4 + 56

Somar:

4 + 56 = 60

= 60

Decomposição em fatores primos de

60 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

60

60

dividida por

260 = 30 \cdot 2

= 2 \cdot 30

30

dividida por

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 5

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 5

Simplificar

= 215

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 15}{2 \cdot 7}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 2 + 2 15}{2 \cdot 7}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 15}{2 \cdot 7}

u = \frac{- 2 + 2 15}{2 \cdot 7} : \frac{- 1 + 15}{7}

\frac{- 2 + 2 15}{2 \cdot 7}

Multiplicar os números:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 2 + 2 15}{14}

Fatorar

- 2 + 215 : 2 (- 1 + 15)

- 2 + 215

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 + 215

Fatorar o termo comum

2

= 2 (- 1 + 15)

= \frac{2 ( - 1 + 15 )}{14}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{- 1 + 15}{7}

u = \frac{- 2 - 2 15}{2 \cdot 7} : - \frac{1 + 15}{7}

\frac{- 2 - 2 15}{2 \cdot 7}

Multiplicar os números:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 2 - 2 15}{14}

Fatorar

- 2 - 215 : - 2 (1 + 15)

- 2 - 215

Reescrever como

= - 2 \cdot 1 - 215

Fatorar o termo comum

2

= - 2 (1 + 15)

= - \frac{2 ( 1 + 15 )}{14}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{1 + 15}{7}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{- 1 + 15}{7}, u = - \frac{1 + 15}{7}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = \frac{- 1 + 15}{7}, sin (x) = - \frac{1 + 15}{7}

sin (x) = \frac{- 1 + 15}{7}, sin (x) = - \frac{1 + 15}{7}

sin (x) = \frac{- 1 + 15}{7} : x = arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 15}{7}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = \frac{- 1 + 15}{7}

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{- 1 + 15}{7}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 15}{7} : x = arcsin (- \frac{1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 15}{7}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 15}{7}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{1 + 15}{7}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{1 + 15}{7}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 15}{7}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 15}{7}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 15}{7}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 15}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 15}{7}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.42292 \dots + 2 πn, x = π - 0.42292 \dots + 2 πn, x = - 0.77000 \dots + 2 πn, x = π + 0.77000 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

3cos(θ)-1=-1

3 cos (θ) - 1 = - 1

2-4cos(x)=0

2 - 4 cos (x) = 0

csc(2x)-4=0

csc (2 x) - 4 = 0

8cos(2x)=4sqrt(2)

8 cos (2 x) = 42

sin(60-x)=2sin(x)

sin (6 0^{\circ} - x) = 2 sin (x)