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Popular Trigonometria >

sin(θ/2)+cos(θ)=1

Solução

sin (\frac{θ}{2}) + cos (θ) = 1

Solução

θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn, θ = \frac{π}{3} + 4 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 4 πn

Graus

θ = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Passos da solução

sin (\frac{θ}{2}) + cos (θ) = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

sin (\frac{θ}{2}) + cos (θ) - 1 = 0

Sea:

u = \frac{θ}{2}

sin (u) + cos (2 u) - 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 u) + sin (u)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (u) + sin (u)

Simplificar

= sin (u) - 2 sin^{2} (u)

sin (u) - 2 sin^{2} (u) = 0

Usando o método de substituição

sin (u) - 2 sin^{2} (u) = 0

Sea:

sin (u) = u

u - 2 u^{2} = 0

u - 2 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{1}{2}

u - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} + u = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Somar:

1 + 0 = 1

= 1

Aplicar a regra

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Aplicar a regra

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 2}

Subtrair:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = 0, u = \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = sin (u)

sin (u) = 0, sin (u) = \frac{1}{2}

sin (u) = 0, sin (u) = \frac{1}{2}

sin (u) = 0 : u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = 0

Soluções gerais para

sin (u) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

u = 0 + 2 πn, u = π + 2 πn

Resolver

u = 0 + 2 πn : u = 2 πn

u = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

u = 2 πn

u = 2 πn, u = π + 2 πn

sin (u) = \frac{1}{2} : u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (u) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (u) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

u = 2 πn, u = π + 2 πn, u = \frac{π}{6} + 2 πn, u = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Substituir na equação

u = \frac{θ}{2}

\frac{θ}{2} = 2 πn : θ = 4 πn

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{θ}{2} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplificar

θ = 4 πn

θ = 4 πn

\frac{θ}{2} = π + 2 πn : θ = 2 π + 4 πn

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{θ}{2} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

θ = 2 π + 4 πn

θ = 2 π + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn : θ = \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{θ}{2} = \frac{π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplificar

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

2 \cdot \frac{π}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{π}{3} + 4 πn

θ = \frac{π}{3} + 4 πn

θ = \frac{π}{3} + 4 πn

θ = \frac{π}{3} + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{5 π}{3} + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{θ}{2} = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

Simplificar

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Simplificar

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn : \frac{5 π}{3} + 4 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{5 π}{6} = \frac{5 π}{3}

2 \cdot \frac{5 π}{6}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 π 2}{6}

Multiplicar os números:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{10 π}{6}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{5 π}{3}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= \frac{5 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{5 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{5 π}{3} + 4 πn

θ = \frac{5 π}{3} + 4 πn

θ = 4 πn, θ = 2 π + 4 πn, θ = \frac{π}{3} + 4 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 4 πn

Gráfico

Exemplos populares

3sin(pi/5 x)=2

3 sin (\frac{π}{5} x) = 2

11=3csc^2(x)+7

11 = 3 csc^{2} (x) + 7

cos(x)tan(x)= 1/2

cos (x) tan (x) = \frac{1}{2}

4sin^2(x)=1-4cos(x)

4 sin^{2} (x) = 1 - 4 cos (x)

-100sin(10x)=0

- 100 sin (10 x) = 0