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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)=csc(x)-6,0<= x<2pi

Lösung

2 sin (x) = csc (x) - 6, 0 \leq x < 2 π

Lösung

x = 0.15898 \dots, x = π - 0.15898 \dots

Grad

x = 9.10895 \dots^{\circ}, x = 170.89104 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

2 sin (x) = csc (x) - 6, 0 \leq x < 2 π

Subtrahiere

csc (x) - 6

von beiden Seiten

2 sin (x) - csc (x) + 6 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

6 - csc (x) + 2 sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= 6 - csc (x) + 2 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

2 \cdot \frac{1}{csc ( x )} = \frac{2}{csc ( x )}

2 \cdot \frac{1}{csc ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{csc ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{csc ( x )}

= 6 - csc (x) + \frac{2}{csc ( x )}

6 - csc (x) + \frac{2}{csc ( x )} = 0

Löse mit Substitution

6 - csc (x) + \frac{2}{csc ( x )} = 0

Angenommen:

csc (x) = u

6 - u + \frac{2}{u} = 0

6 - u + \frac{2}{u} = 0 : u = 3 - 11, u = 3 + 11

6 - u + \frac{2}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

6 - u + \frac{2}{u} = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

6 u - uu + \frac{2}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

6 u - uu + \frac{2}{u} u = 0 \cdot u

Vereinfache

- uu : - u^{2}

- uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Vereinfache

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

6 u - u^{2} + 2 = 0

6 u - u^{2} + 2 = 0

6 u - u^{2} + 2 = 0

Löse

6 u - u^{2} + 2 = 0 : u = 3 - 11, u = 3 + 11

6 u - u^{2} + 2 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + 6 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + 6 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 6, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

6^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 211

6^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 6^{2} + 8

6^{2} = 36

= 36 + 8

Addiere die Zahlen:

36 + 8 = 44

= 44

Primfaktorzerlegung von

44 : 2^{2} \cdot 11

44

44

ist durch

244 = 22 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 22

22

ist durch

222 = 11 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 11

2, 11

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 11

= 2^{2} \cdot 11

= 2^{2} \cdot 11

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 11 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 211

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 2 11}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 2 11}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 2 11}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 6 + 2 11}{2 ( - 1 )} : 3 - 11

\frac{- 6 + 2 11}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 2 11}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 + 2 11}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 6 + 2 11}{2}

Streiche

\frac{- 6 + 2 11}{2} : 11 - 3

\frac{- 6 + 2 11}{2}

Faktorisiere

- 6 + 211 : 2 (- 3 + 11)

- 6 + 211

Schreibe um

= - 2 \cdot 3 + 211

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 3 + 11)

= \frac{2 ( - 3 + 11 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 3 + 11

= - (11 - 3)

Setze Klammern

= - (- 3) - (11)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= 3 - 11

u = \frac{- 6 - 2 11}{2 ( - 1 )} : 3 + 11

\frac{- 6 - 2 11}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 2 11}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 6 - 2 11}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 - 211 = - (6 + 211)

= \frac{6 + 2 11}{2}

Faktorisiere

6 + 211 : 2 (3 + 11)

6 + 211

Schreibe um

= 2 \cdot 3 + 211

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 11)

= \frac{2 ( 3 + 11 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3 + 11

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3 - 11, u = 3 + 11

u = 3 - 11, u = 3 + 11

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

6 - u + \frac{2}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 3 - 11, u = 3 + 11

Setze in

u = csc (x)

ein

csc (x) = 3 - 11, csc (x) = 3 + 11

csc (x) = 3 - 11, csc (x) = 3 + 11

csc (x) = 3 - 11, 0 \leq x < 2 π :

Keine Lösung

csc (x) = 3 - 11, 0 \leq x < 2 π

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

csc (x) = 3 + 11, 0 \leq x < 2 π : x = arccsc (3 + 11), x = π - arccsc (3 + 11)

csc (x) = 3 + 11, 0 \leq x < 2 π

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

csc (x) = 3 + 11

Allgemeine Lösung für

csc (x) = 3 + 11

csc (x) = a \Rightarrow x = arccsc (a) + 2 πn, x = π - arccsc (a) + 2 πn

x = arccsc (3 + 11) + 2 πn, x = π - arccsc (3 + 11) + 2 πn

x = arccsc (3 + 11) + 2 πn, x = π - arccsc (3 + 11) + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = arccsc (3 + 11), x = π - arccsc (3 + 11)

Kombiniere alle Lösungen

x = arccsc (3 + 11), x = π - arccsc (3 + 11)

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.15898 \dots, x = π - 0.15898 \dots

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)sec(x)-sin(x)=0

sin (x) sec (x) - sin (x) = 0

2sin(x-pi/2)+sqrt(3)=0

2 sin (x - \frac{π}{2}) + 3 = 0

16cos(2t)=0

16 cos (2 t) = 0

-2sin(θ)=-sqrt(2)

- 2 sin (θ) = - 2

sin(x)= 25/60

sin (x) = \frac{25}{60}