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Beliebt Trigonometrie >

(1+sin(x))(1+sin(x))=cos^2(x)

Lösung

(1 + sin (x)) (1 + sin (x)) = cos^{2} (x)

Lösung

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

(1 + sin (x)) (1 + sin (x)) = cos^{2} (x)

Subtrahiere

cos^{2} (x)

von beiden Seiten

(1 + sin (x))^{2} - cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

(1 + sin (x))^{2} - cos^{2} (x) : (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

(1 + sin (x))^{2} - cos^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 + sin (x))^{2} - cos^{2} (x) = ((1 + sin (x)) + cos (x)) ((1 + sin (x)) - cos (x))

= ((1 + sin (x)) + cos (x)) ((1 + sin (x)) - cos (x))

Fasse zusammen

= (sin (x) + cos (x) + 1) (sin (x) - cos (x) + 1)

(1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

1 + sin (x) + cos (x) = 0 or 1 + sin (x) - cos (x) = 0

1 + sin (x) + cos (x) = 0 : x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) + cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + sin (x) + cos (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + π

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + π

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : π

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 5 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 5 π = 4 π

= \frac{4 π}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= π

= 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 7 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 7 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) - cos (x) = 0 : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

1 + sin (x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + sin (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

sin (x) - cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) - sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} : sin (x - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (x - \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 5 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + 5 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Löse

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + 2 π

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + 2 π

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : 2 π

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 7 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + 7 π = 8 π

= \frac{8 π}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= 2 π

= 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Graph

Beliebte Beispiele

cos(θ)=-0.866

cos (θ) = - 0.866

cos(θ)=(2sqrt(5))/(19)

cos (θ) = \frac{2 5}{19}

sqrt(3)csc(θ)+csc(θ)cot(θ)=0

3 csc (θ) + csc (θ) cot (θ) = 0

tan(x)(cot(x)+1)=0

tan (x) (cot (x) + 1) = 0

sqrt(3)cos(x)-sin(x)=0

3 cos (x) - sin (x) = 0