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Beliebt Trigonometrie >

1-sin^2(x)-cos(2x)= 1/2

Lösung

1 - sin^{2} (x) - cos (2 x) = \frac{1}{2}

Lösung

x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Grad

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - sin^{2} (x) - cos (2 x) = \frac{1}{2}

Subtrahiere

\frac{1}{2}

von beiden Seiten

- sin^{2} (x) - cos (2 x) + \frac{1}{2} = 0

Vereinfache

- sin^{2} (x) - cos (2 x) + \frac{1}{2} : \frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) + 1}{2}

- sin^{2} (x) - cos (2 x) + \frac{1}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) 2}{2}, cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 2}{2}

= - \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 2}{2} - \frac{cos ( 2 x ) \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) \cdot 2 - cos ( 2 x ) \cdot 2 + 1}{2}

\frac{- 2 sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) + 1}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 2 sin^{2} (x) - 2 cos (2 x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - 2 cos (2 x) - 2 sin^{2} (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

- sin^{2} (x) = cos (2 x) - cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (2 x) + 2 (cos (2 x) - cos^{2} (x))

Vereinfache

1 - 2 cos (2 x) + 2 (cos (2 x) - cos^{2} (x)) : 1 - 2 cos^{2} (x)

1 - 2 cos (2 x) + 2 (cos (2 x) - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

2 (cos (2 x) - cos^{2} (x)) : 2 cos (2 x) - 2 cos^{2} (x)

2 (cos (2 x) - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = cos (2 x), c = cos^{2} (x)

= 2 cos (2 x) - 2 cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos (2 x) + 2 cos (2 x) - 2 cos^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 2 cos (2 x) + 2 cos (2 x) = 0

= 1 - 2 cos^{2} (x)

= 1 - 2 cos^{2} (x)

1 - 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 2 u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Vereinfache

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = \frac{1}{2} : x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.78539 \dots + 2 πn, x = 2.35619 \dots + 2 πn, x = - 2.35619 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

7tan^2(θ)-4tan(θ)=0

7 tan^{2} (θ) - 4 tan (θ) = 0

tan(3x)+1=sec(3x)

tan (3 x) + 1 = sec (3 x)

-2sin^2(θ)+sin(θ)+1=0

- 2 sin^{2} (θ) + sin (θ) + 1 = 0

cot(θ)= 1/4

cot (θ) = \frac{1}{4}

sqrt(3)sin(θ)cot(θ)-2sin(θ)=sin(θ)

3 sin (θ) cot (θ) - 2 sin (θ) = sin (θ)