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Popular >

sin(x)+sqrt(3)cos(x)=-sqrt(2)

Solución

sin (x) + 3 cos (x) = - 2

Solución

x = 2.87979 \dots + 2 πn, x = - 1.83259 \dots + 2 πn

Grados

x = 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin (x) + 3 cos (x) = - 2

Restar

3 cos (x)

de ambos lados

sin (x) = - 2 - 3 cos (x)

Elevar al cuadrado ambos lados

sin^{2} (x) = (- 2 - 3 cos (x))^{2}

Restar

(- 2 - 3 cos (x))^{2}

de ambos lados

sin^{2} (x) - 2 - 26 cos (x) - 3 cos^{2} (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 2 + sin^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 6

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 2 + 1 - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 6

Simplificar

- 2 + 1 - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 6 : - 4 cos^{2} (x) - 26 cos (x) - 1

- 2 + 1 - cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 6

Sumar elementos similares:

- cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 4 cos^{2} (x)

= - 2 + 1 - 4 cos^{2} (x) - 26 cos (x)

Sumar/restar lo siguiente:

- 2 + 1 = - 1

= - 4 cos^{2} (x) - 26 cos (x) - 1

= - 4 cos^{2} (x) - 26 cos (x) - 1

- 1 - 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 6 = 0

Usando el método de sustitución

- 1 - 4 cos^{2} (x) - 2 cos (x) 6 = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 - 4 u^{2} - 2 u 6 = 0

- 1 - 4 u^{2} - 2 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 1 - 4 u^{2} - 2 u 6 = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 26 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 4 u^{2} - 26 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 4, b = - 26, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 6 ) \pm ( - 2 6 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 6 ) \pm ( - 2 6 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) ( - 1 )}{2 ( - 4 )}

(- 26)^{2} - 4 (- 4) (- 1) = 22

(- 26)^{2} - 4 (- 4) (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 26)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

(- 26)^{2} = 2^{2} \cdot 6

(- 26)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 26)^{2} = (26)^{2}

= (26)^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Aplicar las leyes de los exponentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Eliminar los terminos comunes:

2

= 1

= 6

= 2^{2} \cdot 6

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 2^{2} \cdot 6 - 16

2^{2} \cdot 6 = 24

2^{2} \cdot 6

2^{2} = 4

= 4 \cdot 6

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 6 = 24

= 24

= 24 - 16

Restar:

24 - 16 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 6 ) \pm 2 2}{2 ( - 4 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 6 ) + 2 2}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 6 ) - 2 2}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 6 ) + 2 2}{2 ( - 4 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 2 6 ) + 2 2}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 6 + 2 2}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 6 + 2 2}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 6 + 2 2}{8}

Cancelar

\frac{2 6 + 2 2}{8} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{2 6 + 2 2}{8}

Factorizar el termino común

2

= \frac{2 ( 6 + 2 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 2 6 ) - 2 2}{2 ( - 4 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 2 6 ) - 2 2}{2 ( - 4 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 6 - 2 2}{- 2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 6 - 2 2}{- 8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 6 - 2 2}{8}

Cancelar

\frac{2 6 - 2 2}{8} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{2 6 - 2 2}{8}

Factorizar el termino común

2

= \frac{2 ( 6 - 2 )}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

sin (x) + 3 cos (x) = - 2

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Verdadero

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

sin (x) + 3 cos (x) = - 2

por

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

sin (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) + 3 cos (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = - 2

Simplificar

- 1.41421 \dots = - 1.41421 \dots

\Rightarrow Verdadero

Verificar la solución

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

sin (x) + 3 cos (x) = - 2

por

x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

sin (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) + 3 cos (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = - 2

Simplificar

- 1.93185 \dots = - 1.41421 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falso

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

sin (x) + 3 cos (x) = - 2

por

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

sin (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) + 3 cos (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = - 2

Simplificar

0.51763 \dots = - 1.41421 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar la solución

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Verdadero

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Sustituir

n = 1

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Multiplicar

sin (x) + 3 cos (x) = - 2

por

x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

sin (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) + 3 cos (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = - 2

Simplificar

- 1.41421 \dots = - 1.41421 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 2.87979 \dots + 2 πn, x = - 1.83259 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cot(θ)+4csc(θ)=6

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

sin(x)sqrt(2)=-sin(x)

sin (x) 2 = - sin (x)

tan^3(x)=1

tan^{3} (x) = 1

sin^2(x)-9cos(x)-9=0

sin^{2} (x) - 9 cos (x) - 9 = 0

sin(a)= 8/17

sin (a) = \frac{8}{17}