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Beliebt Trigonometrie >

1-cos(θ)=sin(θ)

Lösung

1 - cos (θ) = sin (θ)

Lösung

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - cos (θ) = sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(1 - cos (θ))^{2} = sin^{2} (θ)

Subtrahiere

sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

(1 - cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - cos (θ))^{2} - sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

(1 - cos (θ))^{2} - (1 - cos^{2} (θ))

(1 - cos (θ))^{2} : 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ) : 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= 1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Vereinfache

1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ) : 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

1 - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos (θ) + cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) + 1 - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 2 cos^{2} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

- 2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = 0

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 - cos (θ) = sin (θ)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

θ = 2 π 1

1 - cos (θ) = sin (θ)

ein, um zu lösen

1 - cos (2 π 1) = sin (2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

1 - cos (θ) = sin (θ)

ein, um zu lösen

1 - cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = sin (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

1 - cos (θ) = sin (θ)

ein, um zu lösen

1 - cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1 = - 1

\Rightarrow Falsch

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(3)cot((3pi)/7 x)+3=0

3 cot (\frac{3 π}{7} x) + 3 = 0

sin(u)=1

sin (u) = 1

2sqrt(2)cos(x)+3=5

22 cos (x) + 3 = 5

4tan^2(x)+14tan(x)+12=0

4 tan^{2} (x) + 14 tan (x) + 12 = 0

8arcsin(x)=2pi

8 arcsin (x) = 2 π