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Beliebt Trigonometrie >

tan(2x)+sec(2x)=11

Lösung

tan (2 x) + sec (2 x) = 11

Lösung

x = \frac{1.38947 \dots}{2} + πn

Grad

x = 39.80557 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan (2 x) + sec (2 x) = 11

Subtrahiere

11

von beiden Seiten

tan (2 x) + sec (2 x) - 11 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 11 = 0

Vereinfache

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 11 : \frac{sin ( 2 x ) + 1 - 11 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} - 11

Ziehe Brüche zusammen

\frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )} : \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - 11

Wandle das Element in einen Bruch um:

11 = \frac{11 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - \frac{11 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) + 1 - 11 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{sin ( 2 x ) + 1 - 11 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (2 x) + 1 - 11 cos (2 x) = 0

Füge

11 cos (2 x)

zu beiden Seiten hinzu

sin (2 x) + 1 = 11 cos (2 x)

Quadriere beide Seiten

(sin (2 x) + 1)^{2} = (11 cos (2 x))^{2}

Subtrahiere

(11 cos (2 x))^{2}

von beiden Seiten

(sin (2 x) + 1)^{2} - 121 cos^{2} (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + sin (2 x))^{2} - 121 cos^{2} (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + sin (2 x))^{2} - 121 (1 - sin^{2} (2 x))

Vereinfache

(1 + sin (2 x))^{2} - 121 (1 - sin^{2} (2 x)) : 122 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 120

(1 + sin (2 x))^{2} - 121 (1 - sin^{2} (2 x))

(1 + sin (2 x))^{2} : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (2 x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x) : 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 121 (1 - sin^{2} (2 x))

Multipliziere aus

- 121 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 121 + 121 sin^{2} (2 x)

- 121 (1 - sin^{2} (2 x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 121, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 121 \cdot 1 - (- 121) sin^{2} (2 x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 121 \cdot 1 + 121 sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

121 \cdot 1 = 121

= - 121 + 121 sin^{2} (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 121 + 121 sin^{2} (2 x)

Vereinfache

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 121 + 121 sin^{2} (2 x) : 122 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 120

1 + 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 121 + 121 sin^{2} (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) + 121 sin^{2} (2 x) + 1 - 121

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (2 x) + 121 sin^{2} (2 x) = 122 sin^{2} (2 x)

= 2 sin (2 x) + 122 sin^{2} (2 x) + 1 - 121

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 121 = - 120

= 122 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 120

= 122 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 120

= 122 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) - 120

- 120 + 122 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) = 0

Löse mit Substitution

- 120 + 122 sin^{2} (2 x) + 2 sin (2 x) = 0

Angenommen:

sin (2 x) = u

- 120 + 122 u^{2} + 2 u = 0

- 120 + 122 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{60}{61}, u = - 1

- 120 + 122 u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

122 u^{2} + 2 u - 120 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

122 u^{2} + 2 u - 120 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 122, b = 2, c = - 120

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 122 ( - 120 )}{2 \cdot 122}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 122 ( - 120 )}{2 \cdot 122}

2^{2} - 4 \cdot 122 (- 120) = 242

2^{2} - 4 \cdot 122 (- 120)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 122 \cdot 120

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 122 \cdot 120 = 58560

= 2^{2} + 58560

2^{2} = 4

= 4 + 58560

Addiere die Zahlen:

4 + 58560 = 58564

= 58564

Faktorisiere die Zahl:

58564 = 24 2^{2}

= 24 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

24 2^{2} = 242

= 242

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 242}{2 \cdot 122}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 242}{2 \cdot 122}, u_{2} = \frac{- 2 - 242}{2 \cdot 122}

u = \frac{- 2 + 242}{2 \cdot 122} : \frac{60}{61}

\frac{- 2 + 242}{2 \cdot 122}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 242 = 240

= \frac{240}{2 \cdot 122}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 122 = 244

= \frac{240}{244}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{60}{61}

u = \frac{- 2 - 242}{2 \cdot 122} : - 1

\frac{- 2 - 242}{2 \cdot 122}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 242 = - 244

= \frac{- 244}{2 \cdot 122}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 122 = 244

= \frac{- 244}{244}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{244}{244}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{60}{61}, u = - 1

Setze in

u = sin (2 x)

ein

sin (2 x) = \frac{60}{61}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{60}{61}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = \frac{60}{61} : x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{60}{61}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (2 x) = \frac{60}{61}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = \frac{60}{61}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn

Löse

2 x = arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

Löse

2 x = π - arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π - arcsin (\frac{60}{61}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

sin (2 x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

sin (2 x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Löse

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

tan (2 x) + sec (2 x) = 11

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn :

Wahr

\frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1

tan (2 x) + sec (2 x) = 11

ein, um zu lösen

tan (2 (\frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1)) + sec (2 (\frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1)) = 11

Fasse zusammen

11 = 11

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn :

Falsch

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1

tan (2 x) + sec (2 x) = 11

ein, um zu lösen

tan (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1)) + sec (2 (\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + π 1)) = 11

Fasse zusammen

- 11 = 11

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{4} + πn :

Falsch

\frac{3 π}{4} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{4} + π 1

Setze

x = \frac{3 π}{4} + π 1

tan (2 x) + sec (2 x) = 11

ein, um zu lösen

tan (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) + sec (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) = 11

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

x = \frac{arcsin ( \frac{60}{61} )}{2} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{1.38947 \dots}{2} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

-8sin(x)+8cos(2x)=0

- 8 sin (x) + 8 cos (2 x) = 0

tan^2(x)+2sec(x)+2=0

tan^{2} (x) + 2 sec (x) + 2 = 0

sin(θ)=1+cos(θ)

sin (θ) = 1 + cos (θ)

7cos(2x)=7cos^2(x)-3

7 cos (2 x) = 7 cos^{2} (x) - 3

-cos^2(θ)+1=0

- cos^{2} (θ) + 1 = 0