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sin^2(x)-4sin(x)+1=0

Solución

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 1 = 0

Solución

x = 0.27126 \dots + 2 πn, x = π - 0.27126 \dots + 2 πn

Grados

x = 15.54226 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 164.45773 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 1 = 0

Usando el método de sustitución

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 1 = 0

Sea:

sin (x) = u

u^{2} - 4 u + 1 = 0

u^{2} - 4 u + 1 = 0 : u = 2 + 3, u = 2 - 3

u^{2} - 4 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 4 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 23

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} - 4

4^{2} = 16

= 16 - 4

Restar:

16 - 4 = 12

= 12

Descomposición en factores primos de

12 : 2^{2} \cdot 3

12

12

divida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 3 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 3}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1} : 2 + 3

\frac{- ( - 4 ) + 2 3}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 + 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 + 2 3}{2}

Factorizar

4 + 23 : 2 (2 + 3)

4 + 23

Reescribir como

= 2 \cdot 2 + 23

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 + 3)

= \frac{2 ( 2 + 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 3

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1} : 2 - 3

\frac{- ( - 4 ) - 2 3}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4 - 2 3}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 - 2 3}{2}

Factorizar

4 - 23 : 2 (2 - 3)

4 - 23

Reescribir como

= 2 \cdot 2 - 23

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 - 3)

= \frac{2 ( 2 - 3 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 3

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 2 + 3, u = 2 - 3

Sustituir en la ecuación

u = sin (x)

sin (x) = 2 + 3, sin (x) = 2 - 3

sin (x) = 2 + 3, sin (x) = 2 - 3

sin (x) = 2 + 3 :

Sin solución

sin (x) = 2 + 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (x) = 2 - 3 : x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

sin (x) = 2 - 3

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

sin (x) = 2 - 3

Soluciones generales para

sin (x) = 2 - 3

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arcsin (2 - 3) + 2 πn, x = π - arcsin (2 - 3) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.27126 \dots + 2 πn, x = π - 0.27126 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

6sin(2x)+2sin(x)=0

6 sin (2 x) + 2 sin (x) = 0

3sin^2(w)-4sin(w)-4=0

3 sin^{2} (w) - 4 sin (w) - 4 = 0

sin(θ)= 9/10

sin (θ) = \frac{9}{10}

2sec^2(x)-tan^2(x)=3

2 sec^{2} (x) - tan^{2} (x) = 3

tan(x)-sqrt(2)sin(x)=0

tan (x) - 2 sin (x) = 0