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Beliebt Trigonometrie >

-cos(x)+4cos(2x)=0

Lösung

- cos (x) + 4 cos (2 x) = 0

Lösung

x = 0.68824 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68824 \dots + 2 πn, x = 2.27491 \dots + 2 πn, x = - 2.27491 \dots + 2 πn

Grad

x = 39.43339 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 320.56660 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.34311 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.34311 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- cos (x) + 4 cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (x) + 4 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - cos (x) + 4 (2 cos^{2} (x) - 1)

- cos (x) + (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 4 = 0

Löse mit Substitution

- cos (x) + (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 4 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- u + (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 = 0

- u + (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 = 0 : u = \frac{1 + 129}{16}, u = \frac{1 - 129}{16}

- u + (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4 = 0

Schreibe

- u + (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4

um:

- u - 4 + 8 u^{2}

- u + (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 4

= - u + 4 (- 1 + 2 u^{2})

Multipliziere aus

4 (- 1 + 2 u^{2}) : - 4 + 8 u^{2}

4 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = - 1, c = 2 u^{2}

= 4 (- 1) + 4 \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 u^{2} : - 4 + 8 u^{2}

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= - 4 + 8 u^{2}

= - 4 + 8 u^{2}

= - u - 4 + 8 u^{2}

- u - 4 + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} - u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} - u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = - 1, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 4 )}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 4 )}{2 \cdot 8}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 8 (- 4) = 129

(- 1)^{2} - 4 \cdot 8 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 4

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 8 \cdot 4 = 128

4 \cdot 8 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 4 = 128

= 128

= 1 + 128

Addiere die Zahlen:

1 + 128 = 129

= 129

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 129}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 129}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 129}{2 \cdot 8}

u = \frac{- ( - 1 ) + 129}{2 \cdot 8} : \frac{1 + 129}{16}

\frac{- ( - 1 ) + 129}{2 \cdot 8}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 129}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{1 + 129}{16}

u = \frac{- ( - 1 ) - 129}{2 \cdot 8} : \frac{1 - 129}{16}

\frac{- ( - 1 ) - 129}{2 \cdot 8}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 129}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{1 - 129}{16}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 129}{16}, u = \frac{1 - 129}{16}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 129}{16}, cos (x) = \frac{1 - 129}{16}

cos (x) = \frac{1 + 129}{16}, cos (x) = \frac{1 - 129}{16}

cos (x) = \frac{1 + 129}{16} : x = arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 129}{16}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 129}{16}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 129}{16}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 129}{16} : x = arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 129}{16}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 129}{16}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 129}{16}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 129}{16}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 129}{16}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.68824 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68824 \dots + 2 πn, x = 2.27491 \dots + 2 πn, x = - 2.27491 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(x)+sin(x)-2=0,0<= x<2pi

sin^{2} (x) + sin (x) - 2 = 0, 0 \leq x < 2 π

sin^2(x)+5sin(x)=0

sin^{2} (x) + 5 sin (x) = 0

tan(α)=-4/3 , pi/2 <α<pi,cos(β)= 1/2 ,0<β< pi/2

tan (α) = - \frac{4}{3}, \frac{π}{2} < α < π, cos (β) = \frac{1}{2}, 0 < β < \frac{π}{2}

-3cot((3x)/2)csc((3x)/2)=0

- 3 cot (\frac{3 x}{2}) csc (\frac{3 x}{2}) = 0

sec(θ)= 17/8

sec (θ) = \frac{17}{8}