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Beliebt Trigonometrie >

csc^5(θ)-4csc(θ)=0

Lösung

csc^{5} (θ) - 4 csc (θ) = 0

Lösung

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grad

θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

csc^{5} (θ) - 4 csc (θ) = 0

Löse mit Substitution

csc^{5} (θ) - 4 csc (θ) = 0

Angenommen:

csc (θ) = u

u^{5} - 4 u = 0

u^{5} - 4 u = 0 : u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

u^{5} - 4 u = 0

Faktorisiere

u^{5} - 4 u : u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{5} - 4 u

Klammere gleiche Terme aus

u : u (u^{4} - 4)

u^{5} - 4 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{5} = u^{4} u

= u^{4} u - 4 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{4} - 4)

= u (u^{4} - 4)

Faktorisiere

u^{4} - 4 : (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u^{4} - 4

Schreibe

u^{4} - 4

um:

(u^{2})^{2} - 2^{2}

u^{4} - 4

Schreibe

4

um:

2^{2}

= u^{4} - 2^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

u^{4} = (u^{2})^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

= (u^{2})^{2} - 2^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(u^{2})^{2} - 2^{2} = (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

= (u^{2} + 2) (u^{2} - 2)

Faktorisiere

u^{2} - 2 : (u + 2) (u - 2)

u^{2} - 2

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= u^{2} - (2)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (2)^{2} = (u + 2) (u - 2)

= (u + 2) (u - 2)

= (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

= u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2)

u (u^{2} + 2) (u + 2) (u - 2) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u^{2} + 2 = 0 or u + 2 = 0 or u - 2 = 0

Löse

u^{2} + 2 = 0 : u = 2 i, u = - 2 i

u^{2} + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u^{2} + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u^{2} + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u^{2} = - 2

u^{2} = - 2

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 2, u = - - 2

Vereinfache

- 2 : 2 i

- 2

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 2 i

Vereinfache

- - 2 : - 2 i

- - 2

Vereinfache

- 2 : 2 i

- 2

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 2 = - 1 2

= - 1 2

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 2 i

= - 2 i

u = 2 i, u = - 2 i

Löse

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u = - 2

u = - 2

Löse

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

Die Lösungen sind

u = 0, u = 2 i, u = - 2 i, u = - 2, u = 2

Setze in

u = csc (θ)

ein

csc (θ) = 0, csc (θ) = 2 i, csc (θ) = - 2 i, csc (θ) = - 2, csc (θ) = 2

csc (θ) = 0, csc (θ) = 2 i, csc (θ) = - 2 i, csc (θ) = - 2, csc (θ) = 2

csc (θ) = 0 :

Keine Lösung

csc (θ) = 0

csc (x) \leq - 1 or csc (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

csc (θ) = 2 i :

Keine Lösung

csc (θ) = 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

csc (θ) = - 2 i :

Keine Lösung

csc (θ) = - 2 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

csc (θ) = - 2 : θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (θ) = - 2

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = - 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

csc (θ) = 2 : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

csc (θ) = 2

Allgemeine Lösung für

csc (θ) = 2

csc (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

16sin^2(x)-4=0

16 sin^{2} (x) - 4 = 0

3-3sin(θ)=3

3 - 3 sin (θ) = 3

cos(x)= 10/26

cos (x) = \frac{10}{26}

solvefor x,sin(x)=5

so l v e f or x, sin (x) = 5

6sin(x)+5cos(x)=0

6 sin (x) + 5 cos (x) = 0