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Beliebt Trigonometrie >

(sin(x))/(1-cos(x))=csc(x)

Lösung

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = csc (x)

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = csc (x)

Subtrahiere

csc (x)

von beiden Seiten

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - csc (x) = 0

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - csc (x) : \frac{sin ( x ) - csc ( x ) ( 1 - cos ( x ) )}{1 - cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - csc (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

csc (x) = \frac{csc ( x ) ( 1 - cos ( x ) )}{1 - cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} - \frac{csc ( x ) ( 1 - cos ( x ) )}{1 - cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - csc ( x ) ( 1 - cos ( x ) )}{1 - cos ( x )}

\frac{sin ( x ) - csc ( x ) ( 1 - cos ( x ) )}{1 - cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) - csc (x) (1 - cos (x)) = 0

Drücke mit sin, cos aus

sin (x) - \frac{1}{sin ( x )} (1 - cos (x)) = 0

Vereinfache

sin (x) - \frac{1}{sin ( x )} (1 - cos (x)) : \frac{sin ^{2} ( x ) - 1 + cos ( x )}{sin ( x )}

sin (x) - \frac{1}{sin ( x )} (1 - cos (x))

\frac{1}{sin ( x )} (1 - cos (x)) = \frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} (1 - cos (x))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x )}

1 \cdot (1 - cos (x)) = 1 - cos (x)

1 \cdot (1 - cos (x))

Multipliziere:

1 \cdot (1 - cos (x)) = (1 - cos (x))

= (1 - cos (x))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= 1 - cos (x)

= \frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )}

= sin (x) - \frac{- cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )} - \frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( x ) - ( 1 - cos ( x ) )}{sin ( x )}

sin (x) sin (x) - (1 - cos (x)) = sin^{2} (x) - (1 - cos (x))

sin (x) sin (x) - (1 - cos (x))

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) - (- cos (x) + 1)

= \frac{sin ^{2} ( x ) - ( - cos ( x ) + 1 )}{sin ( x )}

- (1 - cos (x)) : - 1 + cos (x)

- (1 - cos (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) - 1 + cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x ) - 1 + cos ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (x) - 1 + cos (x) = 0

Subtrahiere

cos (x)

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - 1 = - cos (x)

Quadriere beide Seiten

(sin^{2} (x) - 1)^{2} = (- cos (x))^{2}

Subtrahiere

(- cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(sin^{2} (x) - 1)^{2} - cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

(sin^{2} (x) - 1)^{2} - cos^{2} (x) : (sin^{2} (x) - 1 + cos (x)) (sin^{2} (x) - 1 - cos (x))

(sin^{2} (x) - 1)^{2} - cos^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(sin^{2} (x) - 1)^{2} - cos^{2} (x) = ((sin^{2} (x) - 1) + cos (x)) ((sin^{2} (x) - 1) - cos (x))

= ((sin^{2} (x) - 1) + cos (x)) ((sin^{2} (x) - 1) - cos (x))

Fasse zusammen

= (sin^{2} (x) + cos (x) - 1) (sin^{2} (x) - cos (x) - 1)

(sin^{2} (x) - 1 + cos (x)) (sin^{2} (x) - 1 - cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin^{2} (x) - 1 + cos (x) = 0 or sin^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0

sin^{2} (x) - 1 + cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

sin^{2} (x) - 1 + cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos (x) - cos^{2} (x)

cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 0, cos (x) = 1

cos (x) = 0, cos (x) = 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn

sin^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0 : x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin^{2} (x) - 1 - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos (x) - cos^{2} (x)

- cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- u - u^{2} = 0

- u - u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- u - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 1, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 1 + 0

Addiere die Zahlen:

1 + 0 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = 0

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 1, cos (x) = 0

cos (x) = - 1, cos (x) = 0

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = csc (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = csc (x)

ein, um zu lösen

\frac{sin ( \frac{π}{2} + 2 π 1 )}{1 - cos ( \frac{π}{2} + 2 π 1 )} = csc (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = csc (x)

ein, um zu lösen

\frac{sin ( \frac{3 π}{2} + 2 π 1 )}{1 - cos ( \frac{3 π}{2} + 2 π 1 )} = csc (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Falsch

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = csc (x)

ein, um zu lösen

\frac{sin ( 2 π 1 )}{1 - cos ( 2 π 1 )} = csc (2 π 1)

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = csc (x)

ein, um zu lösen

\frac{sin ( π + 2 π 1 )}{1 - cos ( π + 2 π 1 )} = csc (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = \infty

\Rightarrow Falsch

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-3tan(-x)=5tan(x)-3

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23 sin (\frac{θ}{2}) = 3

tan(θ)=-1/7

tan (θ) = - \frac{1}{7}