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Beliebt Trigonometrie >

1/2 tan(2x)=tan(x)

Lösung

\frac{1}{2} tan (2 x) = tan (x)

Lösung

x = πn

Grad

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

\frac{1}{2} tan (2 x) = tan (x)

Subtrahiere

tan (x)

von beiden Seiten

\frac{1}{2} tan (2 x) - tan (x) = 0

Vereinfache

\frac{1}{2} tan (2 x) - tan (x) : \frac{tan ( 2 x ) - 2 tan ( x )}{2}

\frac{1}{2} tan (2 x) - tan (x)

\frac{1}{2} tan (2 x) = \frac{tan ( 2 x )}{2}

\frac{1}{2} tan (2 x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot tan ( 2 x )}{2}

Multipliziere:

1 \cdot tan (2 x) = tan (2 x)

= \frac{tan ( 2 x )}{2}

= \frac{tan ( 2 x )}{2} - tan (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

tan (x) = \frac{tan ( x ) 2}{2}

= \frac{tan ( 2 x )}{2} - \frac{tan ( x ) \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( 2 x ) - tan ( x ) \cdot 2}{2}

\frac{tan ( 2 x ) - 2 tan ( x )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan (2 x) - 2 tan (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (2 x) - 2 tan (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} - 2 tan (x)

Vereinfache

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} - 2 tan (x) : \frac{2 tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} - 2 tan (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 tan (x) = \frac{2 tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} - \frac{2 tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( x ) - 2 tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Multipliziere aus

2 tan (x) - 2 tan (x) (1 - tan^{2} (x)) : 2 tan^{3} (x)

2 tan (x) - 2 tan (x) (1 - tan^{2} (x))

Multipliziere aus

- 2 tan (x) (1 - tan^{2} (x)) : - 2 tan (x) + 2 tan^{3} (x)

- 2 tan (x) (1 - tan^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 tan (x), b = 1, c = tan^{2} (x)

= - 2 tan (x) \cdot 1 - (- 2 tan (x)) tan^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 \cdot tan (x) + 2 tan^{2} (x) tan (x)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot tan (x) + 2 tan^{2} (x) tan (x) : - 2 tan (x) + 2 tan^{3} (x)

- 2 \cdot 1 \cdot tan (x) + 2 tan^{2} (x) tan (x)

2 \cdot 1 \cdot tan (x) = 2 tan (x)

2 \cdot 1 \cdot tan (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 tan (x)

2 tan^{2} (x) tan (x) = 2 tan^{3} (x)

2 tan^{2} (x) tan (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (x) tan (x) = tan^{2 + 1} (x)

= 2 tan^{2 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 tan^{3} (x)

= - 2 tan (x) + 2 tan^{3} (x)

= - 2 tan (x) + 2 tan^{3} (x)

= 2 tan (x) - 2 tan (x) + 2 tan^{3} (x)

Addiere gleiche Elemente:

2 tan (x) - 2 tan (x) = 0

= 2 tan^{3} (x)

= \frac{2 tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{2 tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 0

Löse mit Substitution

\frac{2 tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} = 0

Angenommen:

tan (x) = u

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 u^{3} = 0

Löse

2 u^{3} = 0 : u = 0

2 u^{3} = 0

Teile beide Seiten durch

2

2 u^{3} = 0

Teile beide Seiten durch

2

2 u^{3} = 0

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u ^{3}}{2} = \frac{0}{2}

Vereinfache

u^{3} = 0

u^{3} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 1, u = - 1

Nimm den/die Nenner von

\frac{2 u ^{3}}{1 - u ^{2}}

und vergleiche mit Null

Löse

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Radikal Regel an:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 1, u = - 1

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 0

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = 0

tan (x) = 0

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Löse

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

Kombiniere alle Lösungen

x = πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x+pi)+cos(x+pi)=0

sin (x + π) + cos (x + π) = 0

2sin^2(x)-3sin(x)=-1,0<= x<= 2pi

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) = - 1, 0 \leq x \leq 2 π

cos^2(x)+2sin(x)-2=0

cos^{2} (x) + 2 sin (x) - 2 = 0

tan^2(θ)=sqrt(3)tan(θ)

tan^{2} (θ) = 3 tan (θ)

5sin(2θ)+2sin(θ)=0

5 sin (2 θ) + 2 sin (θ) = 0