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Beliebt Trigonometrie >

3sin^2(2θ)+8cos(2θ)=0

Lösung

3 sin^{2} (2 θ) + 8 cos (2 θ) = 0

Lösung

θ = \frac{1.91063 \dots}{2} + πn, θ = - \frac{1.91063 \dots}{2} + πn

Grad

θ = 54.73561 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = - 54.73561 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin^{2} (2 θ) + 8 cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 sin^{2} (2 θ) + 8 cos (2 θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 3 (1 - cos^{2} (2 θ)) + 8 cos (2 θ)

(1 - cos^{2} (2 θ)) \cdot 3 + 8 cos (2 θ) = 0

Löse mit Substitution

(1 - cos^{2} (2 θ)) \cdot 3 + 8 cos (2 θ) = 0

Angenommen:

cos (2 θ) = u

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0 : u = - \frac{1}{3}, u = 3

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u = 0

Schreibe

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u

um:

3 - 3 u^{2} + 8 u

(1 - u^{2}) \cdot 3 + 8 u

= 3 (1 - u^{2}) + 8 u

Multipliziere aus

3 (1 - u^{2}) : 3 - 3 u^{2}

3 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = u^{2}

= 3 \cdot 1 - 3 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 u^{2}

= 3 - 3 u^{2} + 8 u

3 - 3 u^{2} + 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 3}{2 ( - 3 )}

8^{2} - 4 (- 3) \cdot 3 = 10

8^{2} - 4 (- 3) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 8^{2} + 36

8^{2} = 64

= 64 + 36

Addiere die Zahlen:

64 + 36 = 100

= 100

Faktorisiere die Zahl:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 10}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )} : - \frac{1}{3}

\frac{- 8 + 10}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 10}{- 2 \cdot 3}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 8 + 10 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{2}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{3}

u = \frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )} : 3

\frac{- 8 - 10}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 10}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

- 8 - 10 = - 18

= \frac{- 18}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 18}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{18}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{18}{6} = 3

= 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{3}, u = 3

Setze in

u = cos (2 θ)

ein

cos (2 θ) = - \frac{1}{3}, cos (2 θ) = 3

cos (2 θ) = - \frac{1}{3}, cos (2 θ) = 3

cos (2 θ) = - \frac{1}{3} : θ = \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn, θ = - \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

cos (2 θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (2 θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (2 θ) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

2 θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, 2 θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

2 θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, 2 θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Löse

2 θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn : θ = \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

2 θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

θ = \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

θ = \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

Löse

2 θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn : θ = - \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

2 θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = - \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

θ = - \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

θ = - \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

θ = \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn, θ = - \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

cos (2 θ) = 3 :

Keine Lösung

cos (2 θ) = 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn, θ = - \frac{arccos ( - \frac{1}{3} )}{2} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{1.91063 \dots}{2} + πn, θ = - \frac{1.91063 \dots}{2} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x-pi/3)= 1/2

cos (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

sin(θ)= 7/11

sin (θ) = \frac{7}{11}

12sin(t)cos(t)=8sin(t)

12 sin (t) cos (t) = 8 sin (t)

4sin^2(x)-8sin(x)+3=0

4 sin^{2} (x) - 8 sin (x) + 3 = 0

3tan(2x)+sqrt(3)=0

3 tan (2 x) + 3 = 0