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Popolare Trigonometria >

5tan(2x)-5cot(x)=0

Soluzione

5 tan (2 x) - 5 cot (x) = 0

Soluzione

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Gradi

x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

5 tan (2 x) - 5 cot (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 5 cot (x) + 5 tan (2 x)

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

tan (2 x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Fattorizza

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} : \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

Fattorizza

1 - tan^{2} (x) : (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

1 - tan^{2} (x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

1 - tan^{2} (x) = (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= (1 + tan (x)) (1 - tan (x))

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

= - 5 cot (x) + 5 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

5 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} = \frac{10 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

5 \cdot \frac{2 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( x ) \cdot 5}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )}

= - 5 cot (x) + \frac{10 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{1}{tan ( x )}

= \frac{10 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 5 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Semplificare

\frac{10 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 5 \cdot \frac{1}{tan ( x )} : - \frac{15 tan ^{2} ( x ) - 5}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

\frac{10 tan ( x )}{( 1 + tan ( x ) ) ( 1 - tan ( x ) )} - 5 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

5 \cdot \frac{1}{tan ( x )} = \frac{5}{tan ( x )}

5 \cdot \frac{1}{tan ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{tan ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{tan ( x )}

= \frac{10 tan ( x )}{( tan ( x ) + 1 ) ( - tan ( x ) + 1 )} - \frac{5}{tan ( x )}

Fattorizza

(1 + tan (x)) (1 - tan (x)) : - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

(1 + tan (x)) (1 - tan (x))

Fattorizza

1 - tan (x) : - (tan (x) - 1)

1 - tan (x)

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (tan (x) - 1)

= - (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

= \frac{10 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{5}{tan ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x) : - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1), tan (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

- (1 + tan (x)) (tan (x) - 1)

tan (x)

= - tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

- tan (x) (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Per

\frac{10 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

tan (x)

\frac{10 tan ( x )}{- ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 )} = \frac{10 tan ( x ) tan ( x )}{( - ( 1 + tan ( x ) ) ( tan ( x ) - 1 ) ) tan ( x )} = \frac{10 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Per

\frac{5}{tan ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

- (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

\frac{5}{tan ( x )} = \frac{5 ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{tan ( x ) ( - ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )} = \frac{- 5 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= \frac{10 tan ^{2} ( x )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )} - \frac{- 5 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{10 tan ^{2} ( x ) - ( - 5 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 ) )}{- tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Affinare

= - \frac{10 tan ^{2} ( x ) + 5 ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

Espandi

10 tan^{2} (x) + 5 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 15 tan^{2} (x) - 5

10 tan^{2} (x) + 5 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Espandi

5 (tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : 5 tan^{2} (x) - 5

Espandi

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1) : tan^{2} (x) - 1

(tan (x) + 1) (tan (x) - 1)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = tan (x), b = 1

= tan^{2} (x) - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= tan^{2} (x) - 1

= 5 (tan^{2} (x) - 1)

Espandi

5 (tan^{2} (x) - 1) : 5 tan^{2} (x) - 5

5 (tan^{2} (x) - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = tan^{2} (x), c = 1

= 5 tan^{2} (x) - 5 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 1 = 5

= 5 tan^{2} (x) - 5

= 5 tan^{2} (x) - 5

= 10 tan^{2} (x) + 5 tan^{2} (x) - 5

Aggiungi elementi simili:

10 tan^{2} (x) + 5 tan^{2} (x) = 15 tan^{2} (x)

= 15 tan^{2} (x) - 5

= - \frac{15 tan ^{2} ( x ) - 5}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

= - \frac{15 tan ^{2} ( x ) - 5}{tan ( x ) ( tan ( x ) + 1 ) ( tan ( x ) - 1 )}

- \frac{- 5 + 15 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Risolvi per sostituzione

- \frac{- 5 + 15 tan ^{2} ( x )}{( - 1 + tan ( x ) ) ( 1 + tan ( x ) ) tan ( x )} = 0

Sia:

tan (x) = u

- \frac{- 5 + 15 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

- \frac{- 5 + 15 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- \frac{- 5 + 15 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 5 + 15 u^{2} = 0

Risolvi

- 5 + 15 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

- 5 + 15 u^{2} = 0

Spostare

5

a destra dell'equazione

- 5 + 15 u^{2} = 0

Aggiungi

5

ad entrambi i lati

- 5 + 15 u^{2} + 5 = 0 + 5

Semplificare

15 u^{2} = 5

15 u^{2} = 5

Dividere entrambi i lati per

15

15 u^{2} = 5

Dividere entrambi i lati per

15

\frac{15 u ^{2}}{15} = \frac{5}{15}

Semplificare

u^{2} = \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 1, u = - 1, u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- \frac{- 5 + 15 u ^{2}}{( - 1 + u ) ( 1 + u ) u}

e confrontare con zero

Risolvi

(- 1 + u) (1 + u) u = 0 : u = 1, u = - 1, u = 0

(- 1 + u) (1 + u) u = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

- 1 + u = 0 or 1 + u = 0 or u = 0

Risolvi

- 1 + u = 0 : u = 1

- 1 + u = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

- 1 + u = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

- 1 + u + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

1 + u = 0 : u = - 1

1 + u = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + u = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + u - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

Le soluzioni sono

u = 1, u = - 1, u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 1, u = - 1, u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

Sostituire indietro

u = tan (x)

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3}, tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = \frac{1}{3} : x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = \frac{1}{3}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

tan (x) = \frac{1}{3}

Soluzioni generali per

tan (x) = \frac{1}{3}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3} : x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

tan (x) = - \frac{1}{3}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

tan (x) = - \frac{1}{3}

Soluzioni generali per

tan (x) = - \frac{1}{3}

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Combinare tutte le soluzioni

x = arctan (\frac{1}{3}) + πn, x = arctan (- \frac{1}{3}) + πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 0.52359 \dots + πn, x = - 0.52359 \dots + πn

Grafico

Esempi popolari

sec(x)=1.742506

sec (x) = 1.742506

arctan(x)= 3/4

arctan (x) = \frac{3}{4}

6cos(x)=6-6cos(x)

6 cos (x) = 6 - 6 cos (x)

sin(θ)=0.62

sin (θ) = 0.62

sin(θ)=0.33

sin (θ) = 0.33