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Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(x)-sqrt(3cos(x))=0

Lösung

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.43097 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.43097 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24.69285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 335.30714 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 u^{2} - 3 u = 0

2 u^{2} - 3 u = 0 : u = 0, u = 3 \frac{3}{4}

2 u^{2} - 3 u = 0

Quadratwurzeln entfernen

2 u^{2} - 3 u = 0

Subtrahiere

2 u^{2}

von beiden Seiten

2 u^{2} - 3 u - 2 u^{2} = 0 - 2 u^{2}

Vereinfache

- 3 u = - 2 u^{2}

Quadriere beide Seiten:

3 u = 4 u^{4}

2 u^{2} - 3 u = 0

(- 3 u)^{2} = (- 2 u^{2})^{2}

Schreibe

(- 3 u)^{2}

um:

3 u

(- 3 u)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3 u)^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((3 u)^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (3 u)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3 u

Schreibe

(- 2 u^{2})^{2}

um:

4 u^{4}

(- 2 u^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2 u^{2})^{2} = (2 u^{2})^{2}

= (2 u^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (u^{2})^{2}

(u^{2})^{2} : u^{4}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= u^{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= u^{4}

= 2^{2} u^{4}

2^{2} = 4

= 4 u^{4}

3 u = 4 u^{4}

3 u = 4 u^{4}

3 u = 4 u^{4}

Löse

3 u = 4 u^{4} : u = 0, u = 3 \frac{3}{4}

3 u = 4 u^{4}

Verschiebe

4 u^{4}

auf die linke Seite

3 u = 4 u^{4}

Subtrahiere

4 u^{4}

von beiden Seiten

3 u - 4 u^{4} = 4 u^{4} - 4 u^{4}

Vereinfache

3 u - 4 u^{4} = 0

3 u - 4 u^{4} = 0

Faktorisiere

3 u - 4 u^{4} : - u (34 u - 33) (4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}})

3 u - 4 u^{4}

Klammere gleiche Terme aus

- u : - u (4 u^{3} - 3)

- 4 u^{4} + 3 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{4} = u^{3} u

= - 4 u^{3} u + 3 u

Klammere gleiche Terme aus

- u

= - u (4 u^{3} - 3)

= - u (4 u^{3} - 3)

Faktorisiere

4 u^{3} - 3 : (34 u - 33) ((34)^{2} u^{2} + 3334 u + (33)^{2})

4 u^{3} - 3

Schreibe

4 u^{3} - 3

um:

(34 u)^{3} - (33)^{3}

4 u^{3} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

4 = (34)^{3}

= (34)^{3} u^{3} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (33)^{3}

= (34)^{3} u^{3} - (33)^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(34)^{3} u^{3} = (34 u)^{3}

= (34 u)^{3} - (33)^{3}

= (34 u)^{3} - (33)^{3}

Wende Formel zur Differenz von dritten Potenzen an:

x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

(34 u)^{3} - (33)^{3} = (34 u - 33) ((34)^{2} u^{2} + 3334 u + (33)^{2})

= (34 u - 33) ((34)^{2} u^{2} + 3334 u + (33)^{2})

= - u (34 u - 33) ((34)^{2} u^{2} + 3334 u + (33)^{2})

Fasse zusammen

= - u (34 u - 33) (4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}})

- u (34 u - 33) (4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}}) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or 34 u - 33 = 0 or 4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}} = 0

Löse

34 u - 33 = 0 : u = 3 \frac{3}{4}

34 u - 33 = 0

Verschiebe

33

auf die rechte Seite

34 u - 33 = 0

Füge

33

zu beiden Seiten hinzu

34 u - 33 + 33 = 0 + 33

Vereinfache

34 u = 33

34 u = 33

Teile beide Seiten durch

34

34 u = 33

Teile beide Seiten durch

34

\frac{3 4 u}{3 4} = \frac{3 3}{3 4}

Vereinfache

\frac{3 4 u}{3 4} = \frac{3 3}{3 4}

Vereinfache

\frac{3 4 u}{3 4} : u

\frac{3 4 u}{3 4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

34

= u

Vereinfache

\frac{3 3}{3 4} : 3 \frac{3}{4}

\frac{3 3}{3 4}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{n x}{n y} = n \frac{x}{y}

= 3 \frac{3}{4}

u = 3 \frac{3}{4}

u = 3 \frac{3}{4}

u = 3 \frac{3}{4}

Löse

4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}} = 0 :

Keine Lösung für

u \in R

4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}} = 0

Diskriminante

4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}} = 0 : - 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

4^{\frac{2}{3}} u^{2} + 312 u + 3^{\frac{2}{3}} = 0

Für eine quadratische Gleichung in der Form

a x^{2} + b x + c = 0

ist die Diskriminante

b^{2} - 4 a c

Für

a = 4^{\frac{2}{3}}, b = 312, c = 3^{\frac{2}{3}} : (312)^{2} - 4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

(312)^{2} - 4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

Schreibe

(312)^{2} - 4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

um:

- 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

(312)^{2} - 4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

(312)^{2} = 1 2^{\frac{2}{3}}

(312)^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= (1 2^{\frac{1}{3}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 1 2^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= 1 2^{\frac{2}{3}}

4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

4 \cdot 4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}} = (4 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}

= 4 (4 \cdot 3)^{\frac{2}{3}}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

= 1 2^{\frac{2}{3}} - 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

Addiere gleiche Elemente:

1 2^{\frac{2}{3}} - 4 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}} = - 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

= - 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

- 3 \cdot 1 2^{\frac{2}{3}}

Diskriminante kann nicht negativ sein für

u \in R

Deshalb ist die Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Die Lösungen sind

u = 0, u = 3 \frac{3}{4}

u = 0, u = 3 \frac{3}{4}

Überprüfe die Lösungen:

u = 0

Wahr

, u = 3 \frac{3}{4}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 u^{2} - 3 u = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u = 0 :

Wahr

2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0

Wende Regel an

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0

2 \cdot 0 = 0

2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

3 \cdot 0 = 0

3 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

Wende Regel an

0 = 0

= 0

= 0 - 0

Subtrahiere die Zahlen:

0 - 0 = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Setze ein

u = 3 \frac{3}{4} :

Wahr

2 (3 \frac{3}{4})^{2} - 3 3 \frac{3}{4} = 0

2 (3 \frac{3}{4})^{2} - 3 3 \frac{3}{4} = 2 (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} - 3 6 \frac{3}{4}

2 (3 \frac{3}{4})^{2} - 3 3 \frac{3}{4}

2 (3 \frac{3}{4})^{2} = 2 (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}

2 (3 \frac{3}{4})^{2}

(3 \frac{3}{4})^{2} = (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}

(3 \frac{3}{4})^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}

= 2 (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}

3 3 \frac{3}{4} = 3 6 \frac{3}{4}

3 3 \frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b,

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= 3 3 \frac{3}{4}

3 \frac{3}{4} : 6 \frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{1}{6}

= (\frac{3}{4})^{\frac{1}{6}}

a^{\frac{1}{n}} = n a

= 6 \frac{3}{4}

= 3 6 \frac{3}{4}

= 2 (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} - 3 6 \frac{3}{4}

2 (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} - 3 6 \frac{3}{4} = 0

Wahr

Die Lösungen sind

u = 0, u = 3 \frac{3}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 0, cos (x) = 3 \frac{3}{4}

cos (x) = 0, cos (x) = 3 \frac{3}{4}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 3 \frac{3}{4} : x = arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn

cos (x) = 3 \frac{3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 3 \frac{3}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 3 \frac{3}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn

x = arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (3 \frac{3}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.43097 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.43097 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(3x)=sin(5x)

sin (3 x) = sin (5 x)

2sin^2(3θ)+sin(3θ)-1=0

2 sin^{2} (3 θ) + sin (3 θ) - 1 = 0

4cos(θ)+sqrt(3)=2cos(θ)

4 cos (θ) + 3 = 2 cos (θ)

6cos^2(θ)-cos(θ)-1=0

6 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

|cos(3x)|= 1/2

∣ cos (3 x) ∣ = \frac{1}{2}