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Popular Trigonometría >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(4/3)

Solución

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Solución

x = \frac{1}{2}

Pasos de solución

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Re-escribir usando identidades trigonométricas

arctan (x) + arctan (1 - x)

Utilizar la identidad suma-producto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{4}{3})

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{4}{3})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{4}{3}))

tan (arctan (\frac{4}{3})) = \frac{4}{3}

tan (arctan (\frac{4}{3}))

Re-escribir usando identidades trigonométricas:

tan (arctan (\frac{4}{3})) = \frac{4}{3}

Usar la siguiente identidad:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{4}{3}

= \frac{4}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Resolver

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3} : x = \frac{1}{2}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Multiplicar cruzado

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Simplificar

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Agrupar términos semejantes

= x - x + 1

Sumar elementos similares:

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Simplificar

1 \cdot 3 : 3

1 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 3 = 3

= 3

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Resolver

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4 : x = \frac{1}{2}

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Desarrollar

(1 - x (1 - x)) \cdot 4 : 4 - 4 x + 4 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 4

Expandir

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Expandir

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Poner los parentesis utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Aplicar las reglas de los signos

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Simplificar

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Multiplicar:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 4 (x^{2} - x + 1)

= 4 (1 - x + x^{2})

Aplicar la siguiente regla de productos notables

= 4 \cdot 1 + 4 (- x) + 4 x^{2}

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= 4 \cdot 1 - 4 x + 4 x^{2}

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 x + 4 x^{2}

3 = 4 - 4 x + 4 x^{2}

Intercambiar lados

4 - 4 x + 4 x^{2} = 3

Desplace

3

a la izquierda

4 - 4 x + 4 x^{2} = 3

Restar

3

de ambos lados

4 - 4 x + 4 x^{2} - 3 = 3 - 3

Simplificar

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = - 4, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Restar:

16 - 16 = 0

= 0

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 4}

x = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Eliminar los terminos comunes:

4

= \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

La solución a la ecuación de segundo grado es:

x = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

Verificar las soluciones sustituyendo en la ecuación original

Verificar las soluciones sustituyéndolas en

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Quitar las que no concuerden con la ecuación.

Verificar la solución

\frac{1}{2} :

Verdadero

\frac{1}{2}

Sustituir

n = 1

\frac{1}{2}

Multiplicar

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

por

x = \frac{1}{2}

arctan (\frac{1}{2}) + arctan (1 - \frac{1}{2}) = arctan (\frac{4}{3})

Simplificar

0.92729 \dots = 0.92729 \dots

\Rightarrow Verdadero

x = \frac{1}{2}

Gráfica

Ejemplos populares

cos(θ)=(-8)/(sqrt(14)*\sqrt{20)}

cos (θ) = \frac{- 8}{14 \cdot 20}

sin^2(x)= 1/3

sin^{2} (x) = \frac{1}{3}

cos(2x)=-0.8

cos (2 x) = - 0.8

0=-4sin(2x)

0 = - 4 sin (2 x)

cot(x)+1=0,0<= x<2pi

cot (x) + 1 = 0, 0 \leq x < 2 π