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Beliebt Trigonometrie >

2sec^2(2x)=3tan(2x)+1

Lösung

2 sec^{2} (2 x) = 3 tan (2 x) + 1

Lösung

x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}, x = \frac{0.46364 \dots}{2} + \frac{πn}{2}

Grad

x = 22. 5^{\circ} + 9 0^{\circ} n, x = 13.28252 \dots^{\circ} + 9 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sec^{2} (2 x) = 3 tan (2 x) + 1

Subtrahiere

3 tan (2 x) + 1

von beiden Seiten

2 sec^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 2 sec^{2} (2 x) - 3 tan (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= - 1 + 2 (tan^{2} (2 x) + 1) - 3 tan (2 x)

Vereinfache

- 1 + 2 (tan^{2} (2 x) + 1) - 3 tan (2 x) : 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) + 1

- 1 + 2 (tan^{2} (2 x) + 1) - 3 tan (2 x)

Multipliziere aus

2 (tan^{2} (2 x) + 1) : 2 tan^{2} (2 x) + 2

2 (tan^{2} (2 x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = tan^{2} (2 x), c = 1

= 2 tan^{2} (2 x) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 tan^{2} (2 x) + 2

= - 1 + 2 tan^{2} (2 x) + 2 - 3 tan (2 x)

Vereinfache

- 1 + 2 tan^{2} (2 x) + 2 - 3 tan (2 x) : 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) + 1

- 1 + 2 tan^{2} (2 x) + 2 - 3 tan (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) - 1 + 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 2 = 1

= 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) + 1

= 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) + 1

= 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) + 1

1 + 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 tan^{2} (2 x) - 3 tan (2 x) = 0

Angenommen:

tan (2 x) = u

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 8 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = tan (2 x)

ein

tan (2 x) = 1, tan (2 x) = \frac{1}{2}

tan (2 x) = 1, tan (2 x) = \frac{1}{2}

tan (2 x) = 1 : x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

tan (2 x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (2 x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

2 x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{4} + πn

Löse

2 x = \frac{π}{4} + πn : x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

2 x = \frac{π}{4} + πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = \frac{π}{4} + πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{πn}{2} : \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{πn}{2}

\frac{\frac{π}{4}}{2} = \frac{π}{8}

\frac{\frac{π}{4}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{π}{8}

= \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}

tan (2 x) = \frac{1}{2} : x = \frac{arctan ( \frac{1}{2} )}{2} + \frac{πn}{2}

tan (2 x) = \frac{1}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

tan (2 x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

tan (2 x) = \frac{1}{2}

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

2 x = arctan (\frac{1}{2}) + πn

2 x = arctan (\frac{1}{2}) + πn

Löse

2 x = arctan (\frac{1}{2}) + πn : x = \frac{arctan ( \frac{1}{2} )}{2} + \frac{πn}{2}

2 x = arctan (\frac{1}{2}) + πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = arctan (\frac{1}{2}) + πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arctan ( \frac{1}{2} )}{2} + \frac{πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{arctan ( \frac{1}{2} )}{2} + \frac{πn}{2}

x = \frac{arctan ( \frac{1}{2} )}{2} + \frac{πn}{2}

x = \frac{arctan ( \frac{1}{2} )}{2} + \frac{πn}{2}

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}, x = \frac{arctan ( \frac{1}{2} )}{2} + \frac{πn}{2}

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}, x = \frac{0.46364 \dots}{2} + \frac{πn}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

sin(θ)+cos(θ)=-sqrt(2)

sin (θ) + cos (θ) = - 2

cot(θ)=3.2404

cot (θ) = 3.2404

8sin^2(x)=4

8 sin^{2} (x) = 4

2+2cos(2x)=0

2 + 2 cos (2 x) = 0

csc(x)-2cot(x)=0

csc (x) - 2 cot (x) = 0