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人気のある三角関数 >

3sin(x)+2cos(x)=1

解

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

解

x = 2.27255 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.30696 \dots + 2 πn

+1

度

x = 130.20781 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 342.41204 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

両辺から

2 cos (x)

を引く

3 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

両辺を2乗する

(3 sin (x))^{2} = (1 - 2 cos (x))^{2}

両辺から

(1 - 2 cos (x))^{2}

を引く

9 sin^{2} (x) - 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos (x) - 13 cos^{2} (x) + 8

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

拡張

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

数を乗じる:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 4 cos (x) - 13 cos^{2} (x) + 8

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 1 + 9

類似した元を足す:

- 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 13 cos^{2} (x)

= 4 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 1 + 9

数を足す/引く:

- 1 + 9 = 8

= 4 cos (x) - 13 cos^{2} (x) + 8

= 4 cos (x) - 13 cos^{2} (x) + 8

= 4 cos (x) - 13 cos^{2} (x) + 8

8 - 13 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

置換で解く

8 - 13 cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

8 - 13 u^{2} + 4 u = 0

8 - 13 u^{2} + 4 u = 0 : u = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}, u = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

8 - 13 u^{2} + 4 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} + 4 u + 8 = 0

解くとthe二次式

- 13 u^{2} + 4 u + 8 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 13, b = 4, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 8}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 8}{2 ( - 13 )}

4^{2} - 4 (- 13) \cdot 8 = 123

4^{2} - 4 (- 13) \cdot 8

規則を適用

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 8

数を乗じる:

4 \cdot 13 \cdot 8 = 416

= 4^{2} + 416

4^{2} = 16

= 16 + 416

数を足す:

16 + 416 = 432

= 432

以下の素因数分解:

432 : 2^{4} \cdot 3^{3}

432

4322432 = 216 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 216

2162216 = 108 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 108

1082108 = 54 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54

54254 = 27 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27327 = 9 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

939 = 3 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3^{3}

= 2^{4} \cdot 3^{3}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 3 2^{4} 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 33

改良

= 123

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 12 3}{2 ( - 13 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 4 + 12 3}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 12 3}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- 4 + 12 3}{2 ( - 13 )} : - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

\frac{- 4 + 12 3}{2 ( - 13 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 12 3}{- 2 \cdot 13}

数を乗じる:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 4 + 12 3}{- 26}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 + 12 3}{26}

キャンセル

\frac{- 4 + 12 3}{26} : \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

\frac{- 4 + 12 3}{26}

因数

- 4 + 123 : 4 (- 1 + 33)

- 4 + 123

書き換え

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 33

共通項をくくり出す

4

= 4 (- 1 + 33)

= \frac{4 ( - 1 + 3 3 )}{26}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

= - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

u = \frac{- 4 - 12 3}{2 ( - 13 )} : \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

\frac{- 4 - 12 3}{2 ( - 13 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 12 3}{- 2 \cdot 13}

数を乗じる:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{- 4 - 12 3}{- 26}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 4 - 123 = - (4 + 123)

= \frac{4 + 12 3}{26}

因数

4 + 123 : 4 (1 + 33)

4 + 123

書き換え

= 4 \cdot 1 + 4 \cdot 33

共通項をくくり出す

4

= 4 (1 + 33)

= \frac{4 ( 1 + 3 3 )}{26}

共通因数を約分する:

2

= \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

二次equationの解:

u = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}, u = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}, cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

cos (x) = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}, cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

cos (x) = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13} : x = arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13} : x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

以下の一般解

cos (x) = \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

の挿入向け

x = arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) + 2 cos (arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (- arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) + 2 cos (- arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) = 1

改良

- 3.58224 \dots = 1

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn :

偽

arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

の挿入向け

x = arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) + 2 cos (arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) = 1

改良

2.81301 \dots = 1

\Rightarrow 偽

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn :

真

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) + 2 cos (x) = 1

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) + 2 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

x = arccos (- \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 2.27255 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.30696 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

(3cos(2x)+7sin(x)-5)/(9cos^2(x)-5)=0

\frac{3 cos ( 2 x ) + 7 sin ( x ) - 5}{9 cos ^{2} ( x ) - 5} = 0

2tan(x)-3cot(x)=1

2 tan (x) - 3 cot (x) = 1

8sin^2(x)-10sin(x)+3=0

8 sin^{2} (x) - 10 sin (x) + 3 = 0

(tan(x))/(sec(x))=cot(x)

\frac{tan ( x )}{sec ( x )} = cot (x)

cos(7x)+cos(3x)=0

cos (7 x) + cos (3 x) = 0