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Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)+cos(x)=-1

Lösung

2 sin (x) + cos (x) = - 1

Lösung

x = π + 2 πn, x = 2 π - 0.92729 \dots + 2 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 306.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) + cos (x) = - 1

Subtrahiere

cos (x)

von beiden Seiten

2 sin (x) = - 1 - cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (- 1 - cos (x))^{2}

Subtrahiere

(- 1 - cos (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

- 1 - cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 1 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 5 cos^{2} (x)

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 1 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 4 = 3

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

= - 5 cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 3

3 - 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

3 - 2 cos (x) - 5 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{3}{5}

3 - 2 u - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} - 2 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = - 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 3}{2 ( - 5 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3 = 8

(- 2)^{2} - 4 (- 5) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Addiere die Zahlen:

4 + 60 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 8}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 8}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 8}{- 2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

2 + 8 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{10}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )} : \frac{3}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 8}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 8}{- 2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 8 = - 6

= \frac{- 6}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{3}{5}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) + cos (x) = - 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

2 sin (x) + cos (x) = - 1

ein, um zu lösen

2 sin (π + 2 π 1) + cos (π + 2 π 1) = - 1

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (x) + cos (x) = - 1

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + cos (arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = - 1

Fasse zusammen

2.2 = - 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1

2 sin (x) + cos (x) = - 1

ein, um zu lösen

2 sin (2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) + cos (2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 π 1) = - 1

Fasse zusammen

- 1 = - 1

\Rightarrow Wahr

x = π + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 2 πn, x = 2 π - 0.92729 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(x)+7tan(x)=9

sec^{2} (x) + 7 tan (x) = 9

1-3cos(θ)=sin^2(θ)

1 - 3 cos (θ) = sin^{2} (θ)

cot(2x)=-1

cot (2 x) = - 1

2sec(θ)+3=0

2 sec (θ) + 3 = 0

3sec^2(x)-5tan(x)=3

3 sec^{2} (x) - 5 tan (x) = 3