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Beliebt Trigonometrie >

-6cos^2(θ)-9cos(θ)-7=8cos(θ)

Lösung

- 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) - 7 = 8 cos (θ)

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) - 7 = 8 cos (θ)

Löse mit Substitution

- 6 cos^{2} (θ) - 9 cos (θ) - 7 = 8 cos (θ)

Angenommen:

cos (θ) = u

- 6 u^{2} - 9 u - 7 = 8 u

- 6 u^{2} - 9 u - 7 = 8 u : u = - \frac{7}{3}, u = - \frac{1}{2}

- 6 u^{2} - 9 u - 7 = 8 u

Verschiebe

8 u

auf die linke Seite

- 6 u^{2} - 9 u - 7 = 8 u

Subtrahiere

8 u

von beiden Seiten

- 6 u^{2} - 9 u - 7 - 8 u = 8 u - 8 u

Vereinfache

- 6 u^{2} - 17 u - 7 = 0

- 6 u^{2} - 17 u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 6 u^{2} - 17 u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 6, b = - 17, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 17 ) \pm ( - 17 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 7 )}{2 ( - 6 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 17 ) \pm ( - 17 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) ( - 7 )}{2 ( - 6 )}

(- 17)^{2} - 4 (- 6) (- 7) = 11

(- 17)^{2} - 4 (- 6) (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 17)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 17)^{2} = 1 7^{2}

= 1 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 7 = 168

= 1 7^{2} - 168

1 7^{2} = 289

= 289 - 168

Subtrahiere die Zahlen:

289 - 168 = 121

= 121

Faktorisiere die Zahl:

121 = 1 1^{2}

= 1 1^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 1^{2} = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 17 ) \pm 11}{2 ( - 6 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 17 ) + 11}{2 ( - 6 )}, u_{2} = \frac{- ( - 17 ) - 11}{2 ( - 6 )}

u = \frac{- ( - 17 ) + 11}{2 ( - 6 )} : - \frac{7}{3}

\frac{- ( - 17 ) + 11}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{17 + 11}{- 2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

17 + 11 = 28

= \frac{28}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{28}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{28}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{7}{3}

u = \frac{- ( - 17 ) - 11}{2 ( - 6 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 17 ) - 11}{2 ( - 6 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{17 - 11}{- 2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

17 - 11 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{- 12}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{7}{3}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{7}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{7}{3}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = - \frac{7}{3} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{7}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=sqrt(1)

sin (x) = 1

2tan^2(θ)-tan(θ)=0

2 tan^{2} (θ) - tan (θ) = 0

csc(4x)=-1

csc (4 x) = - 1

cos(θ)-0.018=0

cos (θ) - 0.018 = 0

cos(x)-5=-4-sin(x)

cos (x) - 5 = - 4 - sin (x)