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Beliebt Trigonometrie >

8sin(x)=sqrt(41-40cos(x))

Lösung

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

Lösung

x = 1.94286 \dots + 2 πn, x = 0.15153 \dots + 2 πn

Grad

x = 111.31781 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 8.68218 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(8 sin (x))^{2} = (41 - 40 cos (x))^{2}

Subtrahiere

41 - 40 cos (x)^{2}

von beiden Seiten

64 sin^{2} (x) - 41 + 40 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 41 + 40 cos (x) + 64 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

- 41 + 40 cos (x) + 64 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

64 (1 - cos^{2} (x)) : 64 - 64 cos^{2} (x)

64 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (x)

= - 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

- 41 + 40 cos (x) + 64 - 64 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) - 41 + 64

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 41 + 64 = 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

= 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) + 23

23 + 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

23 + 40 cos (x) - 64 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, u = \frac{5 + 3 13}{16}

23 + 40 u - 64 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 64 u^{2} + 40 u + 23 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 64 u^{2} + 40 u + 23 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 64, b = 40, c = 23

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 23}{2 ( - 64 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 64 ) \cdot 23}{2 ( - 64 )}

4 0^{2} - 4 (- 64) \cdot 23 = 2413

4 0^{2} - 4 (- 64) \cdot 23

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4 0^{2} + 4 \cdot 64 \cdot 23

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 64 \cdot 23 = 5888

= 4 0^{2} + 5888

4 0^{2} = 1600

= 1600 + 5888

Addiere die Zahlen:

1600 + 5888 = 7488

= 7488

Primfaktorzerlegung von

7488 : 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

7488

7488

ist durch

27488 = 3744 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3744

3744

ist durch

23744 = 1872 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 1872

1872

ist durch

21872 = 936 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 936

936

ist durch

2936 = 468 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 468

468

ist durch

2468 = 234 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 234

234

ist durch

2234 = 117 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 117

117

ist durch

3117 = 39 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 39

39

ist durch

339 = 13 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13

2, 3, 13

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 13

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 13

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 13 2^{6} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 13 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 313

Fasse zusammen

= 2413

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 24 13}{2 ( - 64 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )}

u = \frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )} : - \frac{- 5 + 3 13}{16}

\frac{- 40 + 24 13}{2 ( - 64 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 40 + 24 13}{- 2 \cdot 64}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 64 = 128

= \frac{- 40 + 24 13}{- 128}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 40 + 24 13}{128}

Streiche

\frac{- 40 + 24 13}{128} : \frac{3 13 - 5}{16}

\frac{- 40 + 24 13}{128}

Faktorisiere

- 40 + 2413 : 8 (- 5 + 313)

- 40 + 2413

Schreibe um

= - 8 \cdot 5 + 8 \cdot 313

Klammere gleiche Terme aus

8

= 8 (- 5 + 313)

= \frac{8 ( - 5 + 3 13 )}{128}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{- 5 + 3 13}{16}

= - \frac{3 13 - 5}{16}

= - \frac{- 5 + 3 13}{16}

u = \frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )} : \frac{5 + 3 13}{16}

\frac{- 40 - 24 13}{2 ( - 64 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 40 - 24 13}{- 2 \cdot 64}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 64 = 128

= \frac{- 40 - 24 13}{- 128}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 - 2413 = - (40 + 2413)

= \frac{40 + 24 13}{128}

Faktorisiere

40 + 2413 : 8 (5 + 313)

40 + 2413

Schreibe um

= 8 \cdot 5 + 8 \cdot 313

Klammere gleiche Terme aus

8

= 8 (5 + 313)

= \frac{8 ( 5 + 3 13 )}{128}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{5 + 3 13}{16}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, u = \frac{5 + 3 13}{16}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}, cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16} : x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 5 + 3 13}{16}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16} : x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{5 + 3 13}{16}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

ein, um zu lösen

8 sin (arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

7.45262 \dots = 7.45262 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

ein, um zu lösen

8 sin (- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (- arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 7.45262 \dots = 7.45262 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

ein, um zu lösen

8 sin (arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.20762 \dots = 1.20762 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1

8 sin (x) = 41 - 40 cos (x)

ein, um zu lösen

8 sin (2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1) = 41 - 40 cos (2 π - arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.20762 \dots = 1.20762 \dots

\Rightarrow Falsch

x = arccos (- \frac{- 5 + 3 13}{16}) + 2 πn, x = arccos (\frac{5 + 3 13}{16}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.94286 \dots + 2 πn, x = 0.15153 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)+9sin(x)+4=0

2 sin^{2} (x) + 9 sin (x) + 4 = 0

6sin(2x)=6cos(x)

6 sin (2 x) = 6 cos (x)

cot(θ)= 5/12

cot (θ) = \frac{5}{12}

tan(x)=(7.4)/(9.3)

tan (x) = \frac{7.4}{9.3}

tan^4(x)-1=0

tan^{4} (x) - 1 = 0