English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

cos(2x)=sec(x)

Решение

cos (2 x) = sec (x)

Решение

x = 2 πn

Градусы

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

cos (2 x) = sec (x)

Вычтите

sec (x)

с обеих сторон

cos (2 x) - sec (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos (2 x) - sec (x)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= cos (2 x) - \frac{1}{cos ( x )}

Используйте тождество двойного угла:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (x) - 1 - \frac{1}{cos ( x )}

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Решитe подстановкой

- 1 - \frac{1}{cos ( x )} + 2 cos^{2} (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Умножьте обе части на

u

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2} = 0

Умножьте обе части на

u

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

После упрощения получаем

- 1 \cdot u - \frac{1}{u} u + 2 u^{2} u = 0 \cdot u

Упростите

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Умножьте:

1 \cdot u = u

= - u

Упростите

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Отмените общий множитель:

u

= - 1

Упростите

2 u^{2} u : 2 u^{3}

2 u^{2} u

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

Упростите

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Примените правило

0 \cdot a = 0

= 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Решить

- u - 1 + 2 u^{3} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- u - 1 + 2 u^{3} = 0

Запишите в стандартной форме

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

2 u^{3} - u - 1 = 0

Найдите множитель

2 u^{3} - u - 1 : (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

2 u^{3} - u - 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 2

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1, 2

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1 , 2}

\frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 1

= (u - 1) \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

2 u^{3} - u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Частное = 2 u^{2}

Умножьте

u - 1

на

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Вычтите

2 u^{3} - 2 u^{2}

из

2 u^{3} - u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 2 u^{2} - u - 1

Поэтому

\frac{2 u ^{3} - u - 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

2 u^{2} - u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Частное = 2 u

Умножьте

u - 1

на

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Вычтите

2 u^{2} - 2 u

из

2 u^{2} - u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = u - 1

Поэтому

\frac{2 u ^{2} - u - 1}{u - 1} = 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 2 u^{2} + 2 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Частное = 1

Умножьте

u - 1

на

1 : u - 1

Вычтите

u - 1

из

u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 2 u^{2} + 2 u + 1

= (u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1)

(u - 1) (2 u^{2} + 2 u + 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Решить

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Решить

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

2 u^{2} + 2 u + 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 2, b = 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Упростить

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

Примените правило мнимых чисел:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

Прибавьте/Вычтите числа:

- 4 + 8 = 4

= 4

Разложите число:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 2 i}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 i}{4}

коэффициент

- 2 + 2 i : 2 (- 1 + i)

- 2 + 2 i

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 + 2 i

Убрать общее значение

2

= 2 (- 1 + i)

= \frac{2 ( - 1 + i )}{4}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{- 1 + i}{2}

Перепишите

\frac{- 1 + i}{2}

в стандартной комплексной форме:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{- 1 + i}{2}

Примените правило дробей:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- 2 - 2 i}{2 \cdot 2}

Перемножьте числа:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 i}{4}

коэффициент

- 2 - 2 i : - 2 (1 + i)

- 2 - 2 i

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 - 2 i

Убрать общее значение

2

= - 2 (1 + i)

= - \frac{2 ( 1 + i )}{4}

Отмените общий множитель:

2

= - \frac{1 + i}{2}

Перепишите

- \frac{1 + i}{2}

в стандартной комплексной форме:

- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

- \frac{1 + i}{2}

Примените правило дробей:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

= - (\frac{1}{2}) - (\frac{i}{2})

Уберите скобки:

(a) = a

= - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Решением квадратного уравнения являются:

u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Решениями являются

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

u = 0

Возьмите знаменатель(и)

- 1 - \frac{1}{u} + 2 u^{2}

и сравните с нулем

u = 0

Следующие точки не определены

u = 0

Объедините неопределенные точки с решениями:

u = 1, u = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Общие решения для

cos (x) = 1

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Решить

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

Не имеет решения

cos (x) = - \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

Не имеет решения

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

Не имеет решения

cos (x) = - \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

Не имеет решения

Объедините все решения

x = 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры