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Beliebt Trigonometrie >

3cos(x)-sin(x)=1

Lösung

3 cos (x) - sin (x) = 1

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.92729 \dots + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (x) - sin (x) = 1

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

3 cos (x) = 1 + sin (x)

Quadriere beide Seiten

(3 cos (x))^{2} = (1 + sin (x))^{2}

Subtrahiere

(1 + sin (x))^{2}

von beiden Seiten

9 cos^{2} (x) - 1 - 2 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x)) : - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 8

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 9 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - sin^{2} (x)) : 9 - 9 sin^{2} (x)

9 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (x)

= - 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x) : - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 8

- 1 - sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 9 - 9 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 9 sin^{2} (x) - 1 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 10 sin^{2} (x)

= - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) - 1 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 9 = 8

= - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 8

= - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 8

= - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) + 8

8 - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

8 - 10 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

8 - 10 u^{2} - 2 u = 0

8 - 10 u^{2} - 2 u = 0 : u = - 1, u = \frac{4}{5}

8 - 10 u^{2} - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} - 2 u + 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} - 2 u + 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = - 2, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 8}{2 ( - 10 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 10) \cdot 8 = 18

(- 2)^{2} - 4 (- 10) \cdot 8

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 8 = 320

= 2^{2} + 320

2^{2} = 4

= 4 + 320

Addiere die Zahlen:

4 + 320 = 324

= 324

Faktorisiere die Zahl:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 18}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 18}{2 ( - 10 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 18}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 18}{- 2 \cdot 10}

Addiere die Zahlen:

2 + 18 = 20

= \frac{20}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{20}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{20}{20}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 18}{2 ( - 10 )} : \frac{4}{5}

\frac{- ( - 2 ) - 18}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 18}{- 2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 18 = - 16

= \frac{- 16}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 16}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{16}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{4}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{4}{5}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{4}{5}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{4}{5}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{4}{5} : x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{4}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 cos (x) - sin (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

3 cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

3 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) - sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

3 cos (arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) - sin (arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

3 cos (x) - sin (x) = 1

ein, um zu lösen

3 cos (π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) - sin (π - arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 2.6 = 1

\Rightarrow Falsch

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.92729 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3sin(θ)-1=0

3 sin (θ) - 1 = 0

tan(x)= 40/9

tan (x) = \frac{40}{9}

cos((3x)/2)= 1/2 ,-pi/2 <= x<= pi/2

cos (\frac{3 x}{2}) = \frac{1}{2}, - \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

2cos(pi/2 t)=sqrt(3)

2 cos (\frac{π}{2} t) = 3

0=3sin(2x)

0 = 3 sin (2 x)